Estensioni trascendenti

[miuemia]

Allora su un libro di algebra ho trovato questo esercizio.
Sia $S$ un elemento trascendente su $bbbF_p$ (campo con $p$ elementi) allora mi si chiede di dimostrare che l'estensione $bbbF_p(S^p)subebbbF_p(S)$ è un'estensione algebrica non separabile.

il mio dubbio è questo ma se ogni estensione tracendente semplice di un campo è isomorfa all'anello delle funzioni razionali a coefficienti quel campo allora
$bbbF_p(S^p)$ e $bbbF_p(S)$ non dovrebbero essere isomorfe??
e quindi come fa ad essere non separabile????

[Studente Anonimo]

$s$ è radice di $X^p-s^p \in \mathbb{F}_p(s^p)[X]$, e $X^p-s^p=(X-s)^p$. Allora il polinomio minimo di $s$ su $\mathbb{F}_p(s^p)$ divide $(X-s)^p$, cioè è del tipo $(X-s)^k$ con $1 \le k \le p$. Ora k non è 1 perché altrimenti $s \in \mathbb{F}_p(s^p)$, quindi $s=(f(s^p))/(g(s^p))$ (con $f(x),g(x) \in \mathbb{F}_p[X]$), da cui $s$ è zero di $g(x^p)x-f(x^p)$, assurdo perché $s$ è trascendente su $\mathbb{F}_p$. Ne segue che $k \ge 2$, quindi il polinomio irriducibile $(X-s)^k$ non è separabile. Tra l'altro questo implica che k=p, ma non credo che importi.
Ne segue che l'estensione stessa non è separabile (essendo s un elemento non separabile di tale estensione).