Estensioni trascendenti

[Woody1]

Salve! Vi pongo il seguente quesito sulle estensioni di campi.
Sappiamo che, dato un campo K, c'e' un limite alle estensioni algebriche di K; cioè, se F è la chiusura algebrica di K, allora non esiste alcuna estensione di F algebrica su K. Vale un fatto analogo anche per le estensioni trascendenti? Vale a dire: esiste T estensione di K tale che non esiste un'estensione di T trascendente su K?
Per esempio, esiste un'estensione di R trascendente su Q?
Grazie a tutti coloro che risponderanno senza dubitare della mia sanità mentale. Saluti,

Woody

[Sk_Anonymous]

Non mi ricordo molto, e magari mi smentirai subito, ma C non e' estensione di R trascendente su Q?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Hai ragione, è ovvio! ma passando a C: esiste un'estensione di C trascendente su Q? E quanto all'altra domanda: dato un qualsiasi campo K, esiste un'estensione L di K tale che non esiste alcuna estensione di L trascendente su K? Grazie a tutti coloro che interverranno. Saluti,

Woody

[Sk_Anonymous]

Mi sa che il procedimento si itera... se non sbaglio dato un campo K allora K si immerge nel campo delle frazioni di K. Di conseguenza non potra' mai finire una catena di estensioni trascendenti.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Ma il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso!

Woody

[Sk_Anonymous]

mmm... hai ragione. Pero' secondo me c'e' un modo astratto di costruire estensioni; forse basta prendere un polinomio irriducibile a coefficienti in K e considerare il suo campo di spezzamento. Allora questo e' un campo che estende K.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Una tale estensione è algebrica su K.

Woody

[Woody1]

Ho risolto il problema! Sia K un campo. Sia F il campo delle frazioni di K[x]. Allora F è un'estensione di K, ovviamente; poichè x app. a F e x è trascendente su K per il criterio di identità fra polinomi, ne segue che F è un'estensione di K trascendente su K.

Woody

[Sk_Anonymous]

Si, eì vero che il campo di spezzamento e' algebrico su K, ma se K e' trascendente su F, allora tutti i campi di spezzamente che via via costruisci sono trascendenti su F.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

C'è però un limite alla costruzione di campi di spezzamento di polinomi di K[x]: oltre la chiusura algebrica di K non si può andare.

Woody

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, pero' anche la tua procedura non e' detto che non termini mai... come fai a escludere che prima o poi i campi diventano isomorfi, e quindi lo stesso campo?

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Hai ragione... cmq penso si possa dimostrare il seguente fatto:
"Sia K un campo tale che: il sottocampo minimo di K è K stesso. Sia a_n successione tale che: a_(n+1) è trascendente in K(a_1...a_n) per ogni n naturale. Allora:
1)I campi: K(a_1),K(a_1,a_2),K(a_1,a_2,a_3)... sono tutti non isomorfi fra loro.
2)Se a_0 è trascendente su: K(a_1,a_2,a_3...) , allora:
K(a_0,a_1,a_2...) è isomorfo a K(a_1,a_2,a_3...)."

Woody