Estensioni semplici di campi

[maurer]

Propongo un esercizietto in teoria dei campi, per chi avesse voglia di cimentarsi.

Prove it! Sia [tex]F[/tex] un campo finito e sia [tex]K[/tex] una sua estensione finita. Dimostrare che [tex]K[/tex] è un'estensione semplice, ossia che [tex]K = F[\alpha][/tex] per qualche [tex]\alpha \in K[/tex].

[size=75]edit: aggiunta una dimenticanza. Grazie a Martino (vedi più sotto)[/size]

[Lorin1]

Si dovrebbe ragionare, secondo me, sul fatto che se ho un campo finito ed una sua estensione, avendo un radice le ottengo tutte.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"maurer":Propongo un esercizietto in teoria dei campi, per chi avesse voglia di cimentarsi.

Prove it! Sia [tex]F[/tex] un campo finito e sia [tex]K[/tex] una sua estensione. Dimostrare che [tex]K[/tex] è un'estensione semplice, ossia che [tex]K = F[\alpha][/tex] per qualche [tex]\alpha \in K[/tex].

Intendi estensione finita? Se per esempio prendi [tex]F(X,Y)[/tex] (il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in due variabili su F) non e' vero, basta guardare il grado di trascendenza.

In tal caso rilancio: dimostrare che se [tex]K[/tex] e' un campo allora ogni sottogruppo finito di [tex](K-\{0\},\cdot)[/tex] e' ciclico. Naturalmente questo implica il problema di cui sopra: basta prendere come elemento primitivo un generatore del gruppo ciclico [tex]K-\{0\}[/tex].

[maurer]

Sì, sì, intendo estensione finita. Provvedo subito ad editare...

La strada che hai indicato è senza dubbio quella che avevo pensato io. Ma per dimostrare questo ti cito: qui dimostri in qualche spoiler il seguente criterio di ciclicità:

Lemma. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito di ordine [tex]n[/tex]. Se per ogni divisore d di n ci sono al più [tex]d[/tex] elementi tali che [tex]g^d = 1[/tex], allora [tex]G[/tex] è ciclico.[/list:u:d9p1unxu]
Nel nostro caso, basta osservare che, lavorando in un campo, l'equazione [tex]x^d = 1[/tex] ha al più [tex]d[/tex] soluzioni, da cui la tesi.

[doppio1]

Chiamiamo [tex]G[/tex] il sottogruppo in questione. Esso si può scrivere come [tex]C_{a_1} \times C_{a_2} \times \cdots \times C_{a_h}[/tex], dove ciascun [tex]a_i[/tex] divide il successivo. Supponiamo ora [tex]h>1, a_1>1[/tex], e vediamo che nel prodotto di quei gruppi vi sono almeno [tex]a_1^2[/tex] elementi distinti che risolvono l'equazione [tex]Y^{a_1}=1[/tex]. Ma in un campo l'equazione [tex]Y^{a_1}=1[/tex] ha al più [tex]a_1[/tex] soluzioni. Dobbiamo quindi concludere che [tex]h=1[/tex], ovverosia che [tex]G[/tex] è ciclico.