Estensioni normali e separabili

[olilau]

Ciao a tutti!! Ho qualche problema per alcune dimostrazioni.
Ho un'estensione $ K sub F $ e un campo intermedio $ K sub L sub F $.
Devo dimostrare che
(a) se $K sub F$ è normale allora anche $ L sub F$ lo è. Inoltre dovrei dire se anche $K sub L$ è sempre normale;
(b) se $K sub F$ è separabile allora anche $K sub L$ e $L sub F$ lo sono.

Chi mi aiuta?...Grazie anticipatamente!!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Con "normale" intendi "di Galois"?

[olilau]

Nell'esercizio non è specificato...c'è qualche differenza?..Perchè la teoria di Galois l'abbiamo appena cominciata a lezione dunque non saprei dire...l'esercizio può essere svolto senza far riferimento alla teoria di Galois?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se hai capito il testo dell'esercizio vuol dire che sai cosa si intende con "normale". Ed è quello che ti sto chiedendo

[olilau]

Ah... Beh un'estensione è normale se è algebrica e,nel nostro caso,se $ AA alpha in F $ il polinomio minimo di $alpha$ su L è prodotto di fattori lineari in F[x]. Quindi per prima cosa dovrei dimostrare che $ L sub F $ è un'estensione algebrica giusto?....comincio considerando il polinomio minimo di un generico elemento $ alpha in F $ ?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

(a) Data l'ipotesi che ogni elemento di F ha polinomio minimo su K che si spezza in fattori lineari in [tex]F[X][/tex] devi mostrare che ogni elemento di F ha polinomio minimo su L che si spezza in fattori lineari in [tex]F[X][/tex]. Osserva che il polinomio minimo su L in quanto tale divide il polinomio minimo su K, e deducine qualcosa. Per quanto riguarda [tex]K \subset L[/tex], considera il caso seguente: [tex]K=\mathbb{Q}[/tex], [tex]F[/tex] il campo di spezzamento di [tex]x^3-2[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] e [tex]L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/tex].

(b) L'ipotesi e' che ogni elemento di F ha polinomio minimo su K separabile. Devi mostrare che ogni elemento di L ha polinomio minimo su K separabile (questo dovrebbe risultarti ovvio) e che ogni elemento di F ha polinomio minimo su L separabile (ricorda che il polinomio minimo su L divide quello su K).

Ciao!