Estensioni esponenziali di $\mathbb{Q}$
Forse è una cosa banale... ma non riesco a trovare una risposta:
In $\mathbb{Q}$ non è definibile una funzione esponenziale $E:\mathbb{Q }\rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $E(x+y)=E(x)E(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{Q}$ perché se poniamo $E(1)=a \in \mathbb{Q}$ allora, per qualunque $n \in \mathbb{N}^+$, dovremmo avere $E(1/n)=q \in \mathbb{Q}$ con $q^n=a$ e sappiamo che questo non è vero in generale in $\mathbb{Q}$.
Ma quale è la minima estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ in cui è definibile una funzione $E$ ?
Sappiamo che $\mathbb{R}$/$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$/$\mathbb{Q}$ sono estensioni di questo tipo e che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. Ma si può dimostrare che $\mathbb{R}$/$\mathbb{Q}$ è minima? Cioè che non esiste un'altra estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ con $\mathbb{E} \subset \mathbb{R}$ e $\mathbb{E} \ne \mathbb{R}$ ?
In $\mathbb{Q}$ non è definibile una funzione esponenziale $E:\mathbb{Q }\rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $E(x+y)=E(x)E(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{Q}$ perché se poniamo $E(1)=a \in \mathbb{Q}$ allora, per qualunque $n \in \mathbb{N}^+$, dovremmo avere $E(1/n)=q \in \mathbb{Q}$ con $q^n=a$ e sappiamo che questo non è vero in generale in $\mathbb{Q}$.
Ma quale è la minima estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ in cui è definibile una funzione $E$ ?
Sappiamo che $\mathbb{R}$/$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{C}$/$\mathbb{Q}$ sono estensioni di questo tipo e che $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. Ma si può dimostrare che $\mathbb{R}$/$\mathbb{Q}$ è minima? Cioè che non esiste un'altra estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ con $\mathbb{E} \subset \mathbb{R}$ e $\mathbb{E} \ne \mathbb{R}$ ?
Risposte
Non dovrebbe essere \(E\colon\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}_>\)? E che te ne fai dei trascendenti? Ti basta prendere il campo di spezzamento completo della famiglia di polinomi
$$ \bigcup \{ X^n-a \mid n\in \mathbb{N},\; a\in \mathbb{Q}_> \} $$
$$ \bigcup \{ X^n-a \mid n\in \mathbb{N},\; a\in \mathbb{Q}_> \} $$
Il problema è che vorrei caratterizzare il dominio della funzione, nel senso di determinare l'estensione minimale $\mathbb{E}$ di $\mathbb{Q}$ in cui è ben definita una funzione esponenziale $E:\mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E}$. Il codominio sarà poi un sottoinsieme di $\mathbb{E}$ (nel caso gli elementi positivi).
Direi che questo campo contiene elementi tipo $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ è trascendente (o sbaglio?)
"killing_buddha":
E che te ne fai dei trascendenti? Ti basta prendere il campo di spezzamento completo...
Direi che questo campo contiene elementi tipo $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ è trascendente (o sbaglio?)
Le funzioni costanti 0 e 1 non sono entrambe esponenziali su Q?
Si, ma sono banali. La situazione interessante è quando la funzione esponenziale non è costante.
Questa risposta arriva da una discussione su http://math.stackexchange.com e mi sembra buona, quindi vorrei condividerla anche per verificare se c'è qualcosa che non va:
Preso $a \in \mathbb{Q}$, costruiamo la sequenza:
\[
\begin {split}
\mathbb{E}_{a,0} &= \mathbb{Q} \subset \mathbb{C}\\
B_{a,1} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,0}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,0}(B_{a,1}) \\
B_{a,2} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,1}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,1}(B_{a,2}) \\
\cdots\\
B_{a,n} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,n-1}\}\\
\mathbb{E}_{a,n} &= \mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n}) \\
\cdots
\end{split}
\]
dove:
\[
\mathbb{E}_{a,n}=\mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n})=\langle \mathbb{E}_{a,n-1} \cup B_{a,n}\rangle \subset \mathbb{C}
\]
è la chiusura di $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ in $\mathbb{C}$, cioè l’insieme di tutti gli elementi di $\mathbb{C}$ ottenuti a partire da $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ con una successione finita di operazioni del campo (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni), quindi se $\mathbb{E}_{a,n-1} $ è numerabile lo sono anche $B_{a,n} $ e $\mathbb{E}_{a,n} $ e siccome $\mathbb{E}_{a,0} $ è numerbile, tutti gli $\mathbb{E}_{a,n} $ sono insiemi numerabili.
Poniamo ora:
\[
\mathbb{E}_a=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}_{a,n}
\]
anche $\mathbb{E}_a$ è numerabile ed è quindi un sottocampo proprio di $\mathbb{C}$ (di $\mathbb{R}$ se $a>0$) in cui è ben definita la funzione esponenziale $a^x:\mathbb{E}_a\rightarrow \mathbb{E}_a$.
Se poi poniamo:
\[
\mathbb{E}=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}} \mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{C} \qquad \mbox{ and } \qquad
\mathbb{E}^+=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}^+}\mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{R}
\]
abbiamo due campi esponenziali (numerabili) in cui sono ben definite le funzioni esponenziali con base razionale (solo positiva per $\mathbb{E}^+$).
Quello che non mi convince è che da altre parti non ho trovato nessuna citazione di campi esponenziali numerabili.
Ad esempio, in http://arxiv.org/pdf/1101.4224v1.pdf si citano solo $\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$, le serie L-E, i numeri surreali e i campi di Zilbert.
Preso $a \in \mathbb{Q}$, costruiamo la sequenza:
\[
\begin {split}
\mathbb{E}_{a,0} &= \mathbb{Q} \subset \mathbb{C}\\
B_{a,1} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,0}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,0}(B_{a,1}) \\
B_{a,2} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,1}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,1}(B_{a,2}) \\
\cdots\\
B_{a,n} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,n-1}\}\\
\mathbb{E}_{a,n} &= \mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n}) \\
\cdots
\end{split}
\]
dove:
\[
\mathbb{E}_{a,n}=\mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n})=\langle \mathbb{E}_{a,n-1} \cup B_{a,n}\rangle \subset \mathbb{C}
\]
è la chiusura di $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ in $\mathbb{C}$, cioè l’insieme di tutti gli elementi di $\mathbb{C}$ ottenuti a partire da $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ con una successione finita di operazioni del campo (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni), quindi se $\mathbb{E}_{a,n-1} $ è numerabile lo sono anche $B_{a,n} $ e $\mathbb{E}_{a,n} $ e siccome $\mathbb{E}_{a,0} $ è numerbile, tutti gli $\mathbb{E}_{a,n} $ sono insiemi numerabili.
Poniamo ora:
\[
\mathbb{E}_a=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}_{a,n}
\]
anche $\mathbb{E}_a$ è numerabile ed è quindi un sottocampo proprio di $\mathbb{C}$ (di $\mathbb{R}$ se $a>0$) in cui è ben definita la funzione esponenziale $a^x:\mathbb{E}_a\rightarrow \mathbb{E}_a$.
Se poi poniamo:
\[
\mathbb{E}=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}} \mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{C} \qquad \mbox{ and } \qquad
\mathbb{E}^+=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}^+}\mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{R}
\]
abbiamo due campi esponenziali (numerabili) in cui sono ben definite le funzioni esponenziali con base razionale (solo positiva per $\mathbb{E}^+$).
Quello che non mi convince è che da altre parti non ho trovato nessuna citazione di campi esponenziali numerabili.
Ad esempio, in http://arxiv.org/pdf/1101.4224v1.pdf si citano solo $\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$, le serie L-E, i numeri surreali e i campi di Zilbert.
\[ \mathbb{E}=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}} \mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{C} \qquad \mbox{ e } \qquad \mathbb{E}^+=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}^+}\mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{R} \]
Perché questi sono campi?
Per il resto mi sembra che fili tutto.
Direi che l'unione numerabile (e forse anche non numerabile) di sottocampi è un campo.
Per verificare che $\mathbb{E}_a$ è un campo bisogna verificare che tutte le proprietà delle operazioni valgono per elementi $a,b,c... \in \mathbb{E}_a$, ma se stanno in $\mathbb{E}_a$ stanno in qualche $\mathbb{E}_{a,n}$ per $n$ abbastanza grande (qui serve che la famiglia sia numerabile, se non lo è mi sa che bisogna usare l'assioma di scelta) e siccome quest'ultimo è un sottocampo di $\mathbb{C}$ verificano le proprietà richieste.
Lo stesso vale per $\mathbb{E}, \mathbb{E}^+$ perché i loro elementi stanno anche in qualche $\mathbb{E}_a$.
Per verificare che $\mathbb{E}_a$ è un campo bisogna verificare che tutte le proprietà delle operazioni valgono per elementi $a,b,c... \in \mathbb{E}_a$, ma se stanno in $\mathbb{E}_a$ stanno in qualche $\mathbb{E}_{a,n}$ per $n$ abbastanza grande (qui serve che la famiglia sia numerabile, se non lo è mi sa che bisogna usare l'assioma di scelta) e siccome quest'ultimo è un sottocampo di $\mathbb{C}$ verificano le proprietà richieste.
Lo stesso vale per $\mathbb{E}, \mathbb{E}^+$ perché i loro elementi stanno anche in qualche $\mathbb{E}_a$.
No, la numerabilità non c'entra.
L'unione di due campi non è detto che sia un campo.
Considerati $QQ(\sqrt 2), QQ(\sqrt 3)$ si ha che l'unione non è un campo. Infatti $\sqrt 2+ \sqrt 3$ non sta nell'unione che quindi non è nemmeno chiusa rispetto all'addizione.
Nel caso degli $ \mathbb{E}_{a,n} $ l'unione è ancora un campo perché la successione è crescente, nel senso che $ \mathbb{E}_{a,n} \subset \mathbb{E}_{a,n+1} $ , condizione non verificata invece dall'unione per $\alpha \in QQ$ degli $ \mathbb{E}_\alpha$.
[ot]Ho corretto il messaggio precedente dove avevo citato per errore anche l'unione degli $ \mathbb{E}_{a,n} $.[/ot]
L'unione di due campi non è detto che sia un campo.
Considerati $QQ(\sqrt 2), QQ(\sqrt 3)$ si ha che l'unione non è un campo. Infatti $\sqrt 2+ \sqrt 3$ non sta nell'unione che quindi non è nemmeno chiusa rispetto all'addizione.
Nel caso degli $ \mathbb{E}_{a,n} $ l'unione è ancora un campo perché la successione è crescente, nel senso che $ \mathbb{E}_{a,n} \subset \mathbb{E}_{a,n+1} $ , condizione non verificata invece dall'unione per $\alpha \in QQ$ degli $ \mathbb{E}_\alpha$.
[ot]Ho corretto il messaggio precedente dove avevo citato per errore anche l'unione degli $ \mathbb{E}_{a,n} $.[/ot]
Giusto! Quindi a questo punto bisogna capire se il più piccolo campo che contiene $\mathbb{E}$ coincide o meno con $\mathbb{C}$.
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