Estensioni di un gruppo
Trovare le estensioni centrali di $C_3$ mediante $S_3$.
Allora... seguendo le definizioni dell'Humphreys devo trovare i possibili "factor set" (ma come si dice in italiano? xD) cioè le applicazioni $f: S_3 xx S_3 \rightarrow C_3$ tali che per ogni $\alpha,\beta,\gamma in S_3$ si ha
$f(\alpha,1)=1=f(1,\alpha)$
$f(\alpha,\beta)f(\alpha \beta, \gamma) = f(\beta, \gamma)f(\alpha, \beta \gamma)$
Ok, ma come? vado per prove o c'è un modo intelligente? Grazie per la pazienza!
Allora... seguendo le definizioni dell'Humphreys devo trovare i possibili "factor set" (ma come si dice in italiano? xD) cioè le applicazioni $f: S_3 xx S_3 \rightarrow C_3$ tali che per ogni $\alpha,\beta,\gamma in S_3$ si ha
$f(\alpha,1)=1=f(1,\alpha)$
$f(\alpha,\beta)f(\alpha \beta, \gamma) = f(\beta, \gamma)f(\alpha, \beta \gamma)$
Ok, ma come? vado per prove o c'è un modo intelligente? Grazie per la pazienza!
Risposte
Devi trovare i gruppi [tex]G[/tex] tali che [tex]C_3 \subseteq Z(G)[/tex] e [tex]G/C_3 \cong S_3[/tex], capisco bene?
Si esatto. Siccome non ho molti esempi a disposizione ho cercato di fare come è scritto nella teoria cercando questi factor set che poi pensavo di utilizzare per definire una operazione di gruppo nel prodotto cartesiano $C_3 xx S_3$. Altre cose che mi vengono in mente sono che una risposta ovvia è il prodotto diretto $C_3 xx S_3$ visto che $Z(C_3 xx S_3)=Z(C_3) xx Z(S_3) = C_3 xx Z(S_3)$. Poi se non sbaglio $S_3$ è isomorfo a $D_3$ quindi se chiamo $x$ un geratore di $C_3$, chiamo $y$ un elemento di $D_3$ di ordine $2$ e $z$ un elemento di $D_3$ di ordine $3$ ottengo queste relazioni che il gruppo $G$ dovrebbe rispettare
$x^3=y^2=z^3=1$
$xy=yx$
$xz=zx$
$zy=yz^{-1}$
Ma poi quali sono i gruppi che soddisfano questa presentazione? Boh. Grazie e scusami se sono duro di comprendonio. xD
$x^3=y^2=z^3=1$
$xy=yx$
$xz=zx$
$zy=yz^{-1}$
Ma poi quali sono i gruppi che soddisfano questa presentazione? Boh. Grazie e scusami se sono duro di comprendonio. xD
Io mi trovo meglio a cercare di "costruire" il gruppo. Per ipotesi [tex]C_3 \subseteq Z(G)[/tex] e [tex]G/C_3 \cong S_3[/tex], in particolare [tex]|G|=18=2 \cdot 3^2[/tex]. Dopo un po' di riflessioni ti convinci che [tex]G[/tex] è un prodotto semidiretto [tex](C_3 \times C_3) \rtimes C_2[/tex], dove con l'identificazione [tex]C_3 \times C_3 \cong \mathbb{F}_3^2[/tex], il [tex]C_2[/tex] è generato da una matrice invertibile di ordine 2 a entrate in [tex]\mathbb{F}_3[/tex] (cioè a un elemento di [tex]GL(2,3)[/tex]) con autovalore 1 (c'è un centro, quindi qualcosa deve rimanere fissato). Siccome le matrici di ordine 2 sono diagonalizzabili (e siccome la nostra indagine è a meno di isomorfismo), puoi supporre che la tua matrice sia diagonale e quindi ottieni [tex]G \cong \mathbb{F}_3^2 \rtimes \langle \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \rangle[/tex].
Il vettore fissato è $((1),(0))$. Ora osserva che $((0),(1))$ viene cambiato di segno, quindi insieme a $((1,0),(0,-1))$ genera un sottogruppo [tex]H[/tex] isomorfo a [tex]S_3[/tex] che dev'essere normale, dato che $((1),(0)) \in Z(G)$ e [tex]\langle H, \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \rangle = G[/tex]. Ne segue che [tex]G \cong C_3 \times S_3[/tex].
Il vettore fissato è $((1),(0))$. Ora osserva che $((0),(1))$ viene cambiato di segno, quindi insieme a $((1,0),(0,-1))$ genera un sottogruppo [tex]H[/tex] isomorfo a [tex]S_3[/tex] che dev'essere normale, dato che $((1),(0)) \in Z(G)$ e [tex]\langle H, \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \rangle = G[/tex]. Ne segue che [tex]G \cong C_3 \times S_3[/tex].
Ok è chiaro. Grazie mille Martino!
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