Estensioni di $QQ$

[Sk_Anonymous]

Probabilmente la risoluzione di questo esercizio è sbagliata, comunque la sottopongo alla vostra attenzione

Dimostrare che $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ è uguale a $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$.

Questa è la mia risoluzione: osserviamo che $QQ$ è sottocampo di $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ e $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$. Ora $sqrt(5)-sqrt(11)$ appartiene a $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$ e viceversa $sqrt(5)$ e $sqrt(11)$ appartengono a $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ (ho determinato le combinazioni lineari in funzione di $sqrt(5)-sqrt(11)$).
Pertanto le due estensioni di $QQ$ sono uguali.

Ditemi se almento una parola di quello che ho scritto è corretta

[rubik2]

mi pare sia corretta, sostanzialmente hai dmostrato la doppia inclusione:

$QQ(sqrt(5),-sqrt(11))subeQQ(sqrt(5),sqrt(11))$ e
$QQ(sqrt(5),sqrt(11))subeQQ(sqrt(5),-sqrt(11))$

[Sk_Anonymous]

Sì, è esattamente quello che volevo dimostrare, chiedo scusa per non essere stato del tutto formale.

Sulle mie dispense ho appena trovato la risoluzione di questo esercizio: viene svolto in maniera completamente diversa, facendo uso del teorema dei gradi. Concettualmente il mio svolgimento è parecchio più semplice, speriamo sia corretto al 100%.

@rubik:
non scrivo questo per mettere in discussione il tuo intervento (di cui ti sono riconoscente) o per mancanza di fiducia. Mi sembra strano che l'autore abbia intrapreso una strada così difficile quando il tutto era risolvibile in pochi passaggi. Sono in attesa di delucidazioni.

[rubik2]

non saprei dirti. la prima idea che mi era venuta in mente era di osservare che entrambi erano campo di spezzamento di $p(x)=(x^2-5)(x^2-11)$ però poi mi sembrava giusta la tua. aspettiamo magari qualcuno chiarisce la cosa

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"matths87":Mi sembra strano che l'autore abbia intrapreso una strada così difficile quando il tutto era risolvibile in pochi passaggi. Sono in attesa di delucidazioni.

Beh, dipende dal punto di vista: se riesci a dimostrare che $QQ[\sqrt{5},\sqrt{11}]$ ha la stessa dimensione di $QQ[\sqrt{5}-\sqrt{11}]$ su $QQ$, valendo una inclusione deve valere anche l'altra. Ora, che $QQ[\sqrt{5},\sqrt{11}]$ abbia dimensione 4 su $QQ$ credo sia noto (se non sbaglio ogni volta che p e q sono primi distinti, $QQ[\sqrt{p},\sqrt{q}]$ ha dimensione 4 su $QQ$, e questo si vede usando la formula dei gradi). Quindi osservando che il polinomio $(16-x^2)^2-220$ ammette $\sqrt{5}-\sqrt{11}$ come zero, basterà dimostrare che esso è irriducibile in $QQ[X]$ (perché ha grado 4). Ora, Eisenstein non funziona, quindi forse bisogna fare una verifica diretta... se qualcuno si trova meglio a verificare la non riducibilità dei polinomi, forse questo metodo gli è più congeniale.

PS: per trovare un polinomio in $QQ[X]$ annullato da $\gamma = \sqrt{5}-\sqrt{11}$ si può osservare che $\gamma^2 = 16-2\sqrt{55}$, quindi riarrangiare per ottenere $16-\gamma^2=2\sqrt{55}$, ed elevare al quadrato ottenendo $(16-\gamma^2)^2=220$.

[Chevtchenko]

"matths87":e viceversa $sqrt(5)$ e $sqrt(11)$ appartengono a $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$

Questo come lo dimostri?

[Sk_Anonymous]

@sandokan

$2sqrt(5)=u^-1(u^2-6)$ appartiene a $QQ(u)$. In maniera simile provo che anche $sqrt(11)$ appartiene a $QQ(u)$. Qui con $u$ intendo $sqrt(5)-sqrt(11)$.

[rubik2]

mi accorgo ora che non avevo capito l'esercizio tutto quello che ho scritto prima non è vero (o se è vero lo è per sbaglio)