Estensioni di campo e gruppi di Galois.
Esercizio prova d'esame: sugli ultimi due punti sono un po' indeciso. Onestamente non so bene se è lecito quello che faccio. Vi chiederei di controllare se per voi sono argomentazioni corrette.
Sia \(f(t) = t^3 + 3t^2 + 3t - 6 \) un polinomio in \( \mathbb{Q}[t] \) ed \(E \) il campo di rottura (?) (rupture field) di \(f\).
a) Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che \(f\) è irriducibile
b) Ponendo \(s=t+1\) calcola le radici di \(f(t) \in E[t] \)
c) Calcola il grado dell'estensione di \( \mathbb{Q} \subset E \)
d) Sia \(K= \mathbb{Q}[t]/(f) \) identifica i gruppi di Galois \( \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \) e \( \operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}) \)
e) Quanti sotto-campo \( \mathbb{Q} \subset F \subset E \) di grado \( [E]=3 \) ci sono? Identifica ciascun sotto-campo come estensione di \( \mathbb{Q} \).
a)
b)
c)
d)
e)
Sia \(f(t) = t^3 + 3t^2 + 3t - 6 \) un polinomio in \( \mathbb{Q}[t] \) ed \(E \) il campo di rottura (?) (rupture field) di \(f\).
a) Utilizza il teorema di Gauss per dimostrare che \(f\) è irriducibile
b) Ponendo \(s=t+1\) calcola le radici di \(f(t) \in E[t] \)
c) Calcola il grado dell'estensione di \( \mathbb{Q} \subset E \)
d) Sia \(K= \mathbb{Q}[t]/(f) \) identifica i gruppi di Galois \( \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \) e \( \operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}) \)
e) Quanti sotto-campo \( \mathbb{Q} \subset F \subset E \) di grado \( [E]=3 \) ci sono? Identifica ciascun sotto-campo come estensione di \( \mathbb{Q} \).
a)
b)
c)
d)
e)
Risposte
a) e b) sono ok.
c) è una domanda un po' strana: tecnicamente il rupture field è semplicemente un'estensione di $\mathbb Q$ generata da una radice di $f$. Siccome $f$ è irriducibile, tutte le estensioni siffatte sono isomorfe a \(\mathbb{Q}[t]/f\), e quindi hanno grado 3. Questo mi fa sospettare che $E$ sia lo splitting field, e non un rupture field di $f$, vista anche la domanda d). In ogni caso, la tua prova ovviamente non può essere corretta, dal momento che non stai usando in nessun modo la forma specifica di $f$: se la tua dimostrazione fosse giusta implicherebbe che tutti i polinomi irriducibili di grado 3 hanno splitting field di grado 6, il che è decisamente falso. Tra l'altro se scrivi che $m_{\alpha_1}=f$ e poi \(m_{\alpha_2}=f/m_{\alpha_1}\), segue che $m_{\alpha_2}=1$.
In d), è vero che solo una radice di $f$ vive in $K$, ma va dimostrato. Inoltre "un ragionamento analogo..." non è un'argomentazione accettabile: è vero che gli elementi del gruppo di Galois sono permutazioni dell'insieme delle radici di $f$, ma non sempre tutte tali permutazioni vivono nel gruppo di Galois. Qui sei fortunato perchè il campo di spezzamento ha grado 6 e il gruppo di Galois è un sottogruppo di $S_3$ di ordine $6$, e quindi deve coincidere con $S_3$, ma questo non succede sempre. Ad esempio potresti avere un polinomio di grado 4 con gruppo di Galois di ordine 8...
In e) stai confondendo il concetto di ordine con quello di indice. Se $G$ è un gruppo finito ed $H$ un sottogruppo, l'indice di $H$ in $G$ è la cardinalità dell'insieme dei laterali di $H$ in $G$, e coincide con \(|G/H|\). Se \(L/K\) è un'estensione di Galois di campi con gruppo di Galois $G$ ed $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $[L^H:K]$ coincide con l'indice di $H$ in $G$, dove $L^H$ è il sottocampo fissato da $H$. Nel tuo caso, il gruppo di Galois di \(E/F\) deve avere ordine 3, ed in $S_3$ c'è solo $A_3$. Il $\delta$ che cerchi deve essere fissato da $(1,2,3)$ e non dagli scambi.
c) è una domanda un po' strana: tecnicamente il rupture field è semplicemente un'estensione di $\mathbb Q$ generata da una radice di $f$. Siccome $f$ è irriducibile, tutte le estensioni siffatte sono isomorfe a \(\mathbb{Q}[t]/f\), e quindi hanno grado 3. Questo mi fa sospettare che $E$ sia lo splitting field, e non un rupture field di $f$, vista anche la domanda d). In ogni caso, la tua prova ovviamente non può essere corretta, dal momento che non stai usando in nessun modo la forma specifica di $f$: se la tua dimostrazione fosse giusta implicherebbe che tutti i polinomi irriducibili di grado 3 hanno splitting field di grado 6, il che è decisamente falso. Tra l'altro se scrivi che $m_{\alpha_1}=f$ e poi \(m_{\alpha_2}=f/m_{\alpha_1}\), segue che $m_{\alpha_2}=1$.
In d), è vero che solo una radice di $f$ vive in $K$, ma va dimostrato. Inoltre "un ragionamento analogo..." non è un'argomentazione accettabile: è vero che gli elementi del gruppo di Galois sono permutazioni dell'insieme delle radici di $f$, ma non sempre tutte tali permutazioni vivono nel gruppo di Galois. Qui sei fortunato perchè il campo di spezzamento ha grado 6 e il gruppo di Galois è un sottogruppo di $S_3$ di ordine $6$, e quindi deve coincidere con $S_3$, ma questo non succede sempre. Ad esempio potresti avere un polinomio di grado 4 con gruppo di Galois di ordine 8...
In e) stai confondendo il concetto di ordine con quello di indice. Se $G$ è un gruppo finito ed $H$ un sottogruppo, l'indice di $H$ in $G$ è la cardinalità dell'insieme dei laterali di $H$ in $G$, e coincide con \(|G/H|\). Se \(L/K\) è un'estensione di Galois di campi con gruppo di Galois $G$ ed $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $[L^H:K]$ coincide con l'indice di $H$ in $G$, dove $L^H$ è il sottocampo fissato da $H$. Nel tuo caso, il gruppo di Galois di \(E/F\) deve avere ordine 3, ed in $S_3$ c'è solo $A_3$. Il $\delta$ che cerchi deve essere fissato da $(1,2,3)$ e non dagli scambi.
"hydro":
a) e b) sono ok.
c) è una domanda un po' strana: tecnicamente il rupture field è semplicemente un'estensione di $\mathbb Q$ generata da una radice di $f$. Siccome $f$ è irriducibile, tutte le estensioni siffatte sono isomorfe a \(\mathbb{Q}[t]/f\), e quindi hanno grado 3. Questo mi fa sospettare che $E$ sia lo splitting field, e non un rupture field di $f$, vista anche la domanda d). In ogni caso, la tua prova ovviamente non può essere corretta, dal momento che non stai usando in nessun modo la forma specifica di $f$: se la tua dimostrazione fosse giusta implicherebbe che tutti i polinomi irriducibili di grado 3 hanno splitting field di grado 6, il che è decisamente falso. Tra l'altro se scrivi che $m_{\alpha_1}=f$ e poi \(m_{\alpha_2}=f/m_{\alpha_1}\), segue che $m_{\alpha_2}=1$.
Qual'è la differenza tra splitting field e rupture field?
Abbiamo \( [\mathbb{Q}(\alpha_1) : \mathbb{Q} ] =3 \) ed è giusto
Poi ho scritto \( m_{\alpha_2} = f/m_{\alpha_1} \) ma volevo ovviamente scrivere \(m_{\alpha_2}= f/ (t-\alpha_1) \), che è di grado 2 quindi l'estensione \([\mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2) : \mathbb{Q}(\alpha_1)]=2 \)
La forma esplicita è implicitamente usata siccome \( \alpha_2 \not\in \mathbb{Q}(\alpha_1) \) poiché è complesso ottengo che \( [\mathbb{Q}(\alpha_1)(\alpha_2) : \mathbb{Q}(\alpha_1) ] = [\mathbb{Q}(\alpha_1,\alpha_2) : \mathbb{Q}(\alpha_1)]=2 \).
mentre concludiamo che \( m_{\alpha_3}= m_{\alpha_2}/(t-\alpha_2) \) che è di grado 1.
Per gli altri punti, leggo meglio domani che inizio ad essere stanco e non ci ho capito nulla.
Splitting field di $f$ è il più piccolo campo che contiene TUTTE le radici di $f$. Rupture field è un campo generato da UNA radice di $f$.
Il tuo ragionamento è fallace perchè nessuno ti dice che \(m_{\alpha_1}/(t-\alpha_1)\) sia irriducibile su $\mathbb Q[\alpha_1]$. Se lo è, allora quel che scrivi è vero. Altrimenti, non è vero che \(m_{\alpha_1}/(t-\alpha_1)\) è il polinomio minimo di $\alpha_2$, è solo un polinomio di grado 2 che si annulla in $\alpha_2$.
Il tuo ragionamento è fallace perchè nessuno ti dice che \(m_{\alpha_1}/(t-\alpha_1)\) sia irriducibile su $\mathbb Q[\alpha_1]$. Se lo è, allora quel che scrivi è vero. Altrimenti, non è vero che \(m_{\alpha_1}/(t-\alpha_1)\) è il polinomio minimo di $\alpha_2$, è solo un polinomio di grado 2 che si annulla in $\alpha_2$.
OKay. Allora presumibilmente intende splitting field.
Capito.
Comunque siccome \( \alpha_2 \) ed \( \alpha_3 \) sono complessi quello che dico è vero. In generale è falso ma in questo caso è vero. Corretto?
E \( \alpha_1 \) no, quindi \( \mathbb{Q}(\alpha_1) \) non contiene ne \( \alpha_2 \) ne \( \alpha_3 \) e \( m_{\alpha_2} = f/(t-\alpha_1) \).
Capito.
Comunque siccome \( \alpha_2 \) ed \( \alpha_3 \) sono complessi quello che dico è vero. In generale è falso ma in questo caso è vero. Corretto?
E \( \alpha_1 \) no, quindi \( \mathbb{Q}(\alpha_1) \) non contiene ne \( \alpha_2 \) ne \( \alpha_3 \) e \( m_{\alpha_2} = f/(t-\alpha_1) \).
E' corretto ma lo stai dicendo male: tutte le radici di $f$ sono complesse, ma una è reale mentre le altre due no. Ne consegue che se $\alpha_1$ è reale, \(\alpha_2,\alpha_3\notin \mathbb Q[\alpha_1]\) e quindi \(f/(t-\alpha_1)\) non ha radici in \(\mathbb Q[\alpha_1]\).
"hydro":
In d), è vero che solo una radice di $f$ vive in $K$, ma va dimostrato. Inoltre "un ragionamento analogo..." non è un'argomentazione accettabile: è vero che gli elementi del gruppo di Galois sono permutazioni dell'insieme delle radici di $f$, ma non sempre tutte tali permutazioni vivono nel gruppo di Galois. Qui sei fortunato perchè il campo di spezzamento ha grado 6 e il gruppo di Galois è un sottogruppo di $S_3$ di ordine $6$, e quindi deve coincidere con $S_3$, ma questo non succede sempre. Ad esempio potresti avere un polinomio di grado 4 con gruppo di Galois di ordine 8...
Così è corretto?
"hydro":
In e) stai confondendo il concetto di ordine con quello di indice. Se $G$ è un gruppo finito ed $H$ un sottogruppo, l'indice di $H$ in $G$ è la cardinalità dell'insieme dei laterali di $H$ in $G$, e coincide con \(|G/H|\). Se \(L/K\) è un'estensione di Galois di campi con gruppo di Galois $G$ ed $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $[L^H:K]$ coincide con l'indice di $H$ in $G$, dove $L^H$ è il sottocampo fissato da $H$. Nel tuo caso, il gruppo di Galois di \(E/F\) deve avere ordine 3, ed in $S_3$ c'è solo $A_3$. Il $\delta$ che cerchi deve essere fissato da $(1,2,3)$ e non dagli scambi.
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