Estensioni di campo

[francicko]

Sia $Q$campo dei razionali e sia $alpha$ algebrico su $Q$, sia $beta$ algebrico su $Q(alpha)$ posso concludere che $beta$ è algebrico su $Q$?

[broccolo99]

Data una estensione di campi $K \subseteq L$ e preso un elemento $\alpha \in L$ vale che
$$K(\alpha)/K \text{ finita} \iff \alpha \text{ algebrico su } K$$
Per cui, ponendo $L=\mathbb{C}$ e $K=\mathbb{Q}$ risulta $\beta$ algebrico su $\mathbb{Q}$ se, e solo se, $\mathbb{Q} \subseteq mathbb{Q}(\beta )$ è finita. Inoltre per la proposizione prima enunciata, $\mathbb{Q}(\alpha )\subseteq \mathbb{Q}(\beta )$ e $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\alpha)$ sono estensioni finite e pertanto
$$[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\beta): \mathbb{Q}(\alpha )][\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}].$$
Cioè $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\beta )$ è finita e di conseguenza $\beta $ è algebrico su $\mathbb{Q}$.

[francicko]

Ok grazie!
Se $E$ è un estensione di campo su $F$ ed $a$ e $b$ sono algebrici su $F$, $a+b$ è algebrico su $F$, dovrebbe essere vero, giusto?