Estensioni di campi e polinomio minimo
Buonasera,
ho dei problemi (gravi) per quanto riguarda le estensioni di campi e la ricerca del polinomio minimo di un elemento. Chiedo scusa in anticipo se i miei dubbi sembreranno banali per qualcuno, ma vedersi da solo 'sta roba
non è troppo semplice (però è estremamente bella!).
Problema. Sia [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] una radice del polinomio [tex]\mathbb{Q}[X] \ni x^{3}+3x+1[/tex]. Si chiede di studiare [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex], di determinare [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1}[/tex] e di studiare [tex]\mathbb{Q}(\beta)[/tex], determinando il polinomio minimo (su $\mathbb{Q}$) di [tex]\beta[/tex].
Soluzione. La prima parte non crea grossi casini. Considero [tex]\dfrac{\mathbb{Q}[X]}{(x^{3}+3x+1)}[/tex]; il quoziente è un campo (per la caratterizzazione dei quozienti mediante gli ideali: in effetti, l'ideale è massimale perchè il polinomio è irriducibile su $QQ$ perchè non vi ammette radici razionali). Quindi lavorare nell'estensione è "come" lavorare nel quoziente.
Noto che - nel quoziente - i rappresentanti buoni sono i polinomi di grado [tex]\leq 2[/tex] (ogni polinomio è in relazione con il suo resto nella divisione per il polinomio generatore dell'ideale): quindi, il generico elemento del quoziente è della forma [tex]a+bx+cx^2+J[/tex] (avendo indicato con [tex]J=(x^{3}+3x+1)[/tex]).
Per invertire il laterale [tex]x+1+J[/tex], noto che - essendo [tex]x^{3}+3x+1[/tex] irriducibile, ho [tex](x^{3}+3x+1, x+1)=1[/tex]. Scrivo Bézout e ricavo l'inverso che è [tex]\frac{1}{3}(x^2-x+4)+J[/tex] (ho fatto la prova, dovrebbe essere corretto).
Adesso formalizziamo un po' il tutto: la seguente applicazione [tex]\varphi: \dfrac{\mathbb{Q}[X]}{(x^{3}+3x+1)} \to \mathbb{Q}(\alpha)[/tex] definita come [tex]a+bx+cx^{2} + J \mapsto a+ b\alpha+c\alpha^{2}[/tex] (manda ogni laterale $f(x)+J$ in $f(alpha)$) è un isomorfismo.
Bene, allora: l'estensione ha grado 3 su $QQ$, una base di $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ$ è data da $(1,alpha, alpha^2)$. Domanda da 100 punti: potevo già capirlo che il grado era 3? Bastava guardare il grado del polinomio? Sotto quali ipotesi questa eguaglianza regge?
In definitiva, [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1}=\frac{1}{3}(\alpha^{2}-\alpha+4)[/tex].
E fin qui spero di non aver cannato nulla di particolare. Vero?
Adesso però non so andare avanti. Ho $beta$, ma come lo uso? Ho ipotizzato che - per la formula dei gradi - deve essere (confermatelo però, per piacere) [tex]3 \vert [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}][/tex]. Ma questo mi dice ben poco: non so comunque come sia fatta tale estensione e cosa peggiore di tutte non so trovare il polinomio minimo. Non ho la più pallida idea.
Un grazie in anticipo.
ho dei problemi (gravi) per quanto riguarda le estensioni di campi e la ricerca del polinomio minimo di un elemento. Chiedo scusa in anticipo se i miei dubbi sembreranno banali per qualcuno, ma vedersi da solo 'sta roba
non è troppo semplice (però è estremamente bella!).Problema. Sia [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] una radice del polinomio [tex]\mathbb{Q}[X] \ni x^{3}+3x+1[/tex]. Si chiede di studiare [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex], di determinare [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1}[/tex] e di studiare [tex]\mathbb{Q}(\beta)[/tex], determinando il polinomio minimo (su $\mathbb{Q}$) di [tex]\beta[/tex].
Soluzione. La prima parte non crea grossi casini. Considero [tex]\dfrac{\mathbb{Q}[X]}{(x^{3}+3x+1)}[/tex]; il quoziente è un campo (per la caratterizzazione dei quozienti mediante gli ideali: in effetti, l'ideale è massimale perchè il polinomio è irriducibile su $QQ$ perchè non vi ammette radici razionali). Quindi lavorare nell'estensione è "come" lavorare nel quoziente.
Noto che - nel quoziente - i rappresentanti buoni sono i polinomi di grado [tex]\leq 2[/tex] (ogni polinomio è in relazione con il suo resto nella divisione per il polinomio generatore dell'ideale): quindi, il generico elemento del quoziente è della forma [tex]a+bx+cx^2+J[/tex] (avendo indicato con [tex]J=(x^{3}+3x+1)[/tex]).
Per invertire il laterale [tex]x+1+J[/tex], noto che - essendo [tex]x^{3}+3x+1[/tex] irriducibile, ho [tex](x^{3}+3x+1, x+1)=1[/tex]. Scrivo Bézout e ricavo l'inverso che è [tex]\frac{1}{3}(x^2-x+4)+J[/tex] (ho fatto la prova, dovrebbe essere corretto).
Adesso formalizziamo un po' il tutto: la seguente applicazione [tex]\varphi: \dfrac{\mathbb{Q}[X]}{(x^{3}+3x+1)} \to \mathbb{Q}(\alpha)[/tex] definita come [tex]a+bx+cx^{2} + J \mapsto a+ b\alpha+c\alpha^{2}[/tex] (manda ogni laterale $f(x)+J$ in $f(alpha)$) è un isomorfismo.
Bene, allora: l'estensione ha grado 3 su $QQ$, una base di $QQ(alpha)$ come spazio vettoriale su $QQ$ è data da $(1,alpha, alpha^2)$. Domanda da 100 punti: potevo già capirlo che il grado era 3? Bastava guardare il grado del polinomio? Sotto quali ipotesi questa eguaglianza regge?
In definitiva, [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1}=\frac{1}{3}(\alpha^{2}-\alpha+4)[/tex].
E fin qui spero di non aver cannato nulla di particolare. Vero?
Adesso però non so andare avanti. Ho $beta$, ma come lo uso? Ho ipotizzato che - per la formula dei gradi - deve essere (confermatelo però, per piacere) [tex]3 \vert [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}][/tex]. Ma questo mi dice ben poco: non so comunque come sia fatta tale estensione e cosa peggiore di tutte non so trovare il polinomio minimo. Non ho la più pallida idea.
Un grazie in anticipo.
Risposte
"Paolo90":Se K è un campo e [tex]f(x)[/tex] è un polinomio irriducibile in [tex]K[X][/tex] allora [tex]K[X]/(f(x))[/tex] è un campo e la sua dimensione su K (cioè il grado dell'estensione [tex]K[X]/(f(x)) \supset K[/tex]) è uguale al grado di [tex]f(x)[/tex]. Il motivo l'hai esposto tu: i monomi di grado minore del grado di f(x) formano una base.
Domanda da 100 punti: potevo già capirlo che il grado era 3? Bastava guardare il grado del polinomio? Sotto quali ipotesi questa eguaglianza regge?
E fin qui spero di non aver cannato nulla di particolare. Vero?Non hai sbagliato niente.
Adesso però non so andare avanti. Ho $beta$, ma come lo uso? Ho ipotizzato che - per la formula dei gradi - deve essere (confermatelo però, per piacere) [tex]3 \vert [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}][/tex]. Ma questo mi dice ben poco: non so comunque come sia fatta tale estensione e cosa peggiore di tutte non so trovare il polinomio minimo. Non ho la più pallida idea.Osserva che si deve avere [tex]\mathbb{Q}(\beta)=\mathbb{Q}(\alpha)[/tex], essendo [tex]\alpha \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex] e [tex]\beta \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex]. In particolare l'estensione [tex]\mathbb{Q}(\beta) \supset \mathbb{Q}[/tex] ha grado 3 e quindi il polinomio minimo di [tex]\beta[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] ha grado 3.
Il metodo sicuro per trovare tale polinomio è esplicitare gli elementi [tex]\beta^2,\ \beta^3[/tex] in funzione di [tex]\alpha[/tex] e trovare una relazione di dipendenza lineare tra [tex]1,\ \beta,\ \beta^2,\ \beta^3[/tex] (e questo si riduce a risolvere un sistema lineare). Per facilitare la cosa uno potrebbe osservare che se trova il polinomio minimo di [tex]3\beta-4=\alpha^2-\alpha[/tex] può dedurre facilmente il polinomio minimo di [tex]\beta[/tex] risostituendo.
"Martino":Se K è un campo e [tex]f(x)[/tex] è un polinomio irriducibile in [tex]K[X][/tex] allora [tex]K[X]/(f(x))[/tex] è un campo e la sua dimensione su K (cioè il grado dell'estensione [tex]K[X]/(f(x)) \supset K[/tex]) è uguale al grado di [tex]f(x)[/tex]. Il motivo l'hai esposto tu: i monomi di grado minore del grado di f(x) formano una base.
[quote="Paolo90"]Domanda da 100 punti: potevo già capirlo che il grado era 3? Bastava guardare il grado del polinomio? Sotto quali ipotesi questa eguaglianza regge?
[/quote]
Perfetto, ti ringrazio dell'osservazione precisa.
Non hai sbagliato niente.[/quote]
[quote]E fin qui spero di non aver cannato nulla di particolare. Vero?
Ok, grazie.
Osserva che si deve avere [tex]\mathbb{Q}(\beta)=\mathbb{Q}(\alpha)[/tex], essendo [tex]\alpha \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex] e [tex]\beta \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex].In particolare l'estensione [tex]\mathbb{Q}(\beta) \supset \mathbb{Q}[/tex] ha grado 3 e quindi il polinomio minimo di [tex]\beta[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] ha grado 3.
Di questo mi stava venendo il sospetto ieri sera mentre scrivevo. Solo una cosa, per vedere se ho capito: il fatto che [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1} \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex] è immediato dal fatto che [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex] è un campo.
Vale anche [tex]\alpha \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex] perchè da [tex]\beta = (1+\alpha)^{-1}[/tex] segue [tex]\alpha=\beta^{-1}-1 \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex]. Questo dovrebbe essere sufficiente per mostrare quanto dici, cioè che [tex]\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\beta)[/tex], dico bene? A questo punto (anche passando attraverso la formula dei gradi) si trova che l'estensione $\QQ(beta)$ ha grado 3 e quindi il polinomio minimo ha grado 3.
Ok?
Il metodo sicuro per trovare tale polinomio è esplicitare gli elementi [tex]\beta^2,\ \beta^3[/tex] in funzione di [tex]\alpha[/tex] e trovare una relazione di dipendenza lineare tra [tex]1,\ \beta,\ \beta^2,\ \beta^3[/tex] (e questo si riduce a risolvere un sistema lineare). Per facilitare la cosa uno potrebbe osservare che se trova il polinomio minimo di [tex]3\beta-4=\alpha^2-\alpha[/tex] può dedurre facilmente il polinomio minimo di [tex]\beta[/tex] risostituendo.
Vediamo se ho capito.
Ho fatto così: chiamo [tex]\gamma = 3\beta-4=\alpha^2-\alpha[/tex] e cerco il polinomio minimo di $gamma$ (avrà sempre grado 3, non sto facendo nulla di strano, no?). Allora cerco una dipendenza lineare tra [tex]1,\ \gamma,\ \gamma^2,\ \gamma^3[/tex] (metto già coefficiente 1 davanti a $gamma^3$ perchè il pol. minimo è monico) cioè [tex]\gamma^3+a\gamma^2+b\gamma+c=0[/tex].
Faccio tutti i conti con gli $alpha$ (e riduco i gradi di $alpha$ usando il fatto che è radice del polinomio di partenza): mi trovo con un po' di conti
[tex]\gamma = \alpha^{2}-\alpha[/tex]
[tex]\gamma^{2} = -2\alpha^{2}+5\alpha+2[/tex]
[tex]\gamma^{3}=3\alpha^{2}-21\alpha-7[/tex]
Chiedo che [tex]\gamma^3+a\gamma^2+b\gamma+c=0[/tex]: sostituisco e trovo una c.l degli elementi della base $(1, alpha, alpha^2)$: sono l.i. quindi i coefficienti sono tutti nulli. Risolvo il sistema lineare che salta fuori e trovo che il polinomio minimo di $gamma$ è
[tex]x^{3}+6x^{2}+9x-5 = 0[/tex]
Adesso bisogna tornare indietro dico bene? Sostituisco a $x$ $gamma = 3beta -4$ mi rifaccio tutti i conti e mi trovo il seguente polinomio
[tex]3x^{3}-6x^{2}+3x-1 = 0[/tex]
Il p.m. deve essere monico, quindi divido per 3 e ci sono (?): il polinomio minimo di $beta$ è [tex]x^{3}-2x^{2}+x-\frac{1}{3} = 0[/tex].
Come va? GRAZIE mille, Martino.
"Paolo90":Sì. Osserva che comunque in generale se [tex]a[/tex] è un elemento algebrico su [tex]\mathbb{Q}[/tex] il campo [tex]\mathbb{Q}(a)[/tex] ha grado su [tex]\mathbb{Q}[/tex] uguale al grado del polinomio minimo di [tex]a[/tex], essendo [tex]\mathbb{Q}(a) \cong \mathbb{Q}[X]/(f(x))[/tex], dove [tex]f(x)[/tex] è il polinomio minimo di [tex]a[/tex]. Quindi nel tuo caso nel momento in cui sai che [tex]\mathbb{Q}(\beta)[/tex] ha grado 3 sai anche che il polinomio minimo di [tex]\beta[/tex] ha grado 3, senza passare dalla formula dei gradi.
Di questo mi stava venendo il sospetto ieri sera mentre scrivevo. Solo una cosa, per vedere se ho capito: il fatto che [tex]\beta = (\alpha+1)^{-1} \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex] è immediato dal fatto che [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex] è un campo. Vale anche [tex]\alpha \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex] perchè da [tex]\beta = (1+\alpha)^{-1}[/tex] segue [tex]\alpha=\beta^{-1}-1 \in \mathbb{Q}(\beta)[/tex]. Questo dovrebbe essere sufficiente per mostrare quanto dici, cioè che [tex]\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\beta)[/tex], dico bene? A questo punto (anche passando attraverso la formula dei gradi) si trova che l'estensione $\QQ(beta)$ ha grado 3 e quindi il polinomio minimo ha grado 3.
Ok?
"Paolo90":Il ragionamento è giusto.
Come va?
Non ho controllato i conti ma immagino siano giusti.
Rieccomi. Continuo in questo thread perchè l'argomento è lo stesso, voglio provare una proprietà del polinomio minimo di un elemento algebrico.
Teorema. Si consideri un ampliamento [tex]F \leq K[/tex] e sia [tex]\alpha[/tex] non nullo in $K$, algebrico su $F$ di grado $n>=1$. Allora il polinomio minimo di $\alpha$ coincide con il polinomio caratteristico dell'endomorfismo dato dalla moltiplicazione per $alpha$: [tex]\psi_{\alpha}: F(\alpha) \to F(\alpha)[/tex] che manda [tex]x \mapsto \alpha x[/tex].
Proof. C'è qualcosa che non mi torna, non riesco a concludere. Il p.m. ha grado $n$, supponiamo sia una roba del tipo [tex]x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}[/tex]. Allora, ho [tex]\alpha^{n}=-(a\alpha^{n-1}+...+a_{1}\alpha+a_{0})[/tex]. La matrice associata a $\psi_{\alpha}$ rispetto alla base $(1,alpha, alpha^2 ... alpha^{n-1})$ è quindi
[tex]A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & -a_{0} \\
1 & 0 & \dots & -a_{1} \\
0 & 1 & \dots & -a_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & -a_{n-1}
\end{bmatrix}[/tex]
Non capisco come muovermi per il calcolo di [tex]\text{det}(A-\lambda I)[/tex]: come faccio i conti? Devo farli o c'è qualche trucco che mi sfugge? Non so come fare... sviluppo con Laplace?
Vi ringrazio in anticipo
Teorema. Si consideri un ampliamento [tex]F \leq K[/tex] e sia [tex]\alpha[/tex] non nullo in $K$, algebrico su $F$ di grado $n>=1$. Allora il polinomio minimo di $\alpha$ coincide con il polinomio caratteristico dell'endomorfismo dato dalla moltiplicazione per $alpha$: [tex]\psi_{\alpha}: F(\alpha) \to F(\alpha)[/tex] che manda [tex]x \mapsto \alpha x[/tex].
Proof. C'è qualcosa che non mi torna, non riesco a concludere. Il p.m. ha grado $n$, supponiamo sia una roba del tipo [tex]x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}[/tex]. Allora, ho [tex]\alpha^{n}=-(a\alpha^{n-1}+...+a_{1}\alpha+a_{0})[/tex]. La matrice associata a $\psi_{\alpha}$ rispetto alla base $(1,alpha, alpha^2 ... alpha^{n-1})$ è quindi
[tex]A=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & -a_{0} \\
1 & 0 & \dots & -a_{1} \\
0 & 1 & \dots & -a_{2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & -a_{n-1}
\end{bmatrix}[/tex]
Non capisco come muovermi per il calcolo di [tex]\text{det}(A-\lambda I)[/tex]: come faccio i conti? Devo farli o c'è qualche trucco che mi sfugge? Non so come fare... sviluppo con Laplace?
Vi ringrazio in anticipo
Guarda, la cosa più sensata è usare il teorema di Cayley-Hamilton (o Hamilton-Cayley, a seconda). Penso che tu lo conosca.
Detto [tex]P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/tex] il polinomio caratteristico di [tex]\psi_{\alpha}[/tex], per tale teorema si ha [tex]P(\psi_{\alpha})=a_0+a_1 \psi_{\alpha}+...+a_n \psi_{\alpha}^n = 0[/tex] nella F-algebra degli endomorfismi lineari di [tex]F(\alpha)[/tex] (dove + è la somma puntuale, [tex]\cdot[/tex] è la composizione e la moltiplicazione per scalare è puntuale). Valutando [tex]P(\psi_{\alpha})[/tex] in 1 otteniamo [tex]P(\psi_{\alpha})(1)=0[/tex]. Questa uguaglianza esplicitata fornisce magicamente [tex]P(\alpha)=0[/tex], ed ora concludere è facile.
Detto [tex]P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/tex] il polinomio caratteristico di [tex]\psi_{\alpha}[/tex], per tale teorema si ha [tex]P(\psi_{\alpha})=a_0+a_1 \psi_{\alpha}+...+a_n \psi_{\alpha}^n = 0[/tex] nella F-algebra degli endomorfismi lineari di [tex]F(\alpha)[/tex] (dove + è la somma puntuale, [tex]\cdot[/tex] è la composizione e la moltiplicazione per scalare è puntuale). Valutando [tex]P(\psi_{\alpha})[/tex] in 1 otteniamo [tex]P(\psi_{\alpha})(1)=0[/tex]. Questa uguaglianza esplicitata fornisce magicamente [tex]P(\alpha)=0[/tex], ed ora concludere è facile.
"Martino":
Guarda, la cosa più sensata è usare il teorema di Cayley-Hamilton (o Hamilton-Cayley, a seconda). Penso che tu lo conosca.
Hey grazie per la risposta. Sì, lo conosco, è quello che dice che la matrice di un endomorfismo è radice del suo polinomio caratteristico... non ci pensavo più! Gran bell'idea, complimenti
! Detto [tex]P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n[/tex] il polinomio caratteristico di [tex]\psi_{\alpha}[/tex], per tale teorema si ha [tex]P(\psi_{\alpha})=a_0+a_1 \psi_{\alpha}+...+a_n \psi_{\alpha}^n = 0[/tex] nella F-algebra degli endomorfismi lineari di [tex]F(\alpha)[/tex] (dove + è la somma puntuale, [tex]\cdot[/tex] è la composizione e la moltiplicazione per scalare è puntuale). Valutando [tex]P(\psi_{\alpha})[/tex] in 1 otteniamo [tex]P(\psi_{\alpha})(1)=0[/tex]. Questa uguaglianza esplicitata fornisce magicamente [tex]P(\alpha)=0[/tex], ed ora concludere è facile.
Sì, certo, però il fatto che $alpha$ sia di grado $n$ e che annulli quel polinomio è sufficiente per concludere che quello (va be', diviso per $a_n$ in modo che sia monico, si intende) è proprio il p.minimo? Forse devo ancora provare l'irriducibilità?
Vedi, in generale, non ho ben chiaro se ci sono delle condizioni sufficienti perchè un polinomio sia minimo per un elemento algebrico... che cosa mi basta per concludere? Ti ringrazio.
Non entro nel merito del post, però a tal proposito:
se hai un polinomio di cui $alpha$ è radice, monico ed irriducibile su $K$ allora esso è il polinomio minimo. Questa è quella più pratica come definizione (nel senso che verificata l'irriducibilità, cosa tra l'altro non sempre facile, hai finito).
Vedi, in generale, non ho ben chiaro se ci sono delle condizioni sufficienti perchè un polinomio sia minimo per un elemento algebrico
se hai un polinomio di cui $alpha$ è radice, monico ed irriducibile su $K$ allora esso è il polinomio minimo. Questa è quella più pratica come definizione (nel senso che verificata l'irriducibilità, cosa tra l'altro non sempre facile, hai finito).
Grazie mistake, ho capito. Tra l'altro ho trovato quello che cercavo proprio sulle pagine della Barile (per chi fosse interessato: link). Grazie ancora.
"Paolo90":Per ipotesi [tex]\alpha[/tex] ha grado n. Tu sai quindi che il polinomio minimo di [tex]\alpha[/tex] ha grado n.
Sì, certo, però il fatto che $alpha$ sia di grado $n$ e che annulli quel polinomio è sufficiente per concludere che quello (va be', diviso per $a_n$ in modo che sia monico, si intende) è proprio il p.minimo? Forse devo ancora provare l'irriducibilità?
Inoltre penso che tu sappia che il polinomio minimo di [tex]\alpha[/tex] divide ogni polinomio di cui [tex]\alpha[/tex] è radice.
Devo aggiungere altro?
No no, Martino, tranquillo; ho ricomposto tutte le idee e mi ritrovo perfettamente: scusa, avevo perso un attimo la bussola
Grazie
Grazie
Sono ancora io, scusate la rottura, avrei bisogno di una conferma.
Ancora sulle estensioni e il polinomio minimo.
Voglio studiare l'estensione semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex]. Secondo me ha grado 4 su $\QQ$, perchè il polinomio minimo è $x^4+1$. Infatti, questo polinomio ammette [tex]\sqrt{i}[/tex] come zero ed è irriducibile sui razionali (non ha radici razionali, nè si può scomporre come prodotto di due polinomi di II grado a coefficienti razionali): quindi è proprio il polinomio minimo dell'elemento algebrico $\sqrt{i}$ su $QQ$.
E' corretto affermare che una base di [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex] su $QQ$ è data da $(1,sqrti, i, i^{3/2})$?
Adesso, considero l'estensione finitamente generata non semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)[/tex]. Affermo che ha grado 4 su $QQ$.
La formula dei gradi fornisce [tex][\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}][/tex] e entrambe le estensioni hanno grado 2 (il polinomio minimo di $sqrt2$ su $QQ$ è ovviamente $x^2-2$, mentre il polinomio minimo di $i$ su $QQ(sqrt2)$ è $x^2+1$).
Adesso vi chiedo: tutto ok fin qui? Ora osservo che [tex]\sqrt{i}=\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], quindi ho che [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)[/tex].
Con qualche manovra algebrica (=qualche conto) mi ricavo che [tex]\sqrt{2}=(1-i)\sqrt{i}[/tex] cioè [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex]. Affermo quindi che [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex].
Siete d'accordo? Grazie
Ancora sulle estensioni e il polinomio minimo.
Voglio studiare l'estensione semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex]. Secondo me ha grado 4 su $\QQ$, perchè il polinomio minimo è $x^4+1$. Infatti, questo polinomio ammette [tex]\sqrt{i}[/tex] come zero ed è irriducibile sui razionali (non ha radici razionali, nè si può scomporre come prodotto di due polinomi di II grado a coefficienti razionali): quindi è proprio il polinomio minimo dell'elemento algebrico $\sqrt{i}$ su $QQ$.
E' corretto affermare che una base di [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex] su $QQ$ è data da $(1,sqrti, i, i^{3/2})$?
Adesso, considero l'estensione finitamente generata non semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)[/tex]. Affermo che ha grado 4 su $QQ$.
La formula dei gradi fornisce [tex][\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}][/tex] e entrambe le estensioni hanno grado 2 (il polinomio minimo di $sqrt2$ su $QQ$ è ovviamente $x^2-2$, mentre il polinomio minimo di $i$ su $QQ(sqrt2)$ è $x^2+1$).
Adesso vi chiedo: tutto ok fin qui? Ora osservo che [tex]\sqrt{i}=\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], quindi ho che [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)[/tex].
Con qualche manovra algebrica (=qualche conto) mi ricavo che [tex]\sqrt{2}=(1-i)\sqrt{i}[/tex] cioè [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex]. Affermo quindi che [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex].
Siete d'accordo? Grazie
Sì è giusto, anche se ci sono alcuni passaggi non gradevolissimi da leggere.
"Paolo90":Non c'è un modo canonico nei complessi di intendere la radice quadrata di un elemento. Sarebbe meglio che scrivessi direttamente [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)[/tex] anziché [tex]\sqrt{i}[/tex].
Voglio studiare l'estensione semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex].
E' corretto affermare che una base di [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex] su $QQ$ è data da $(1,sqrti, i, i^{3/2})$?E' giusto, ma vale il discorso di prima. Detto [tex]\theta[/tex] l'elemento [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)[/tex], una base è [tex]\{1,\theta,\theta^2,\theta^3\}[/tex].
Adesso, considero l'estensione finitamente generata non semplice [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)[/tex].Attento: ogni estensione finita di [tex]\mathbb{Q}[/tex] è semplice (segue dal teorema dell'elemento primitivo, vedi il corollario: "let [tex]E \supseteq F[/tex] be a finite degree separable extension. Then [tex]E = F[\alpha][/tex] for some [tex]\alpha \in E[/tex]"). Quindi dire "non semplice" è sbagliato. Tu naturalmente intendi dire che la presentazione che ne dai tu è con due generatori e non con uno.
Con qualche manovra algebrica (=qualche conto) mi ricavo che [tex]\sqrt{2}=(1-i)\sqrt{i}[/tex] cioè [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex]. Affermo quindi che [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\mathbb{Q}(\sqrt{i})[/tex].Non c'era bisogno di fare questi conti. Nel momento in cui sai che [tex]\mathbb{Q}(\theta) \subseteq \mathbb{Q}(i,\sqrt{2})[/tex] e che entrambe le estensioni hanno grado 4, hai automaticamente l'uguaglianza.
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