Estensioni di campi e inclusioni
Buon pomeriggio a tutti,
riguardando un esercizio sulla teoria di Galois svolto in classe ho notato un passaggio non chiaro nell'esecuzione, che si può ridurre a una questione di estensioni di campi.
L'affermazione è la seguente: posto $ E := mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $, siccome $ mathbb(Q) (sqrt(3)) $ e $ mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $ sono contenuti in $ E $ allora $ sqrt(3) cdot sqrt(2/3) = sqrt(2) $ appartiene ad $ E $. Quindi $ E(sqrt(2)) = E $.
Ora, a me non risulta che sia $ mathbb(Q) (sqrt(3)) sube E $... se infatti $ sqrt(3) $ appartenesse a $ E $, si potrebbe scrivere $ sqrt(3) = a+b cdot sqrt(2/3) $ con $ a,b in mathbb(Q) $. Da questo segue $ 3 = a^2 +2/3 b^2 +2ab sqrt(2/3) $:
- se fosse $ a = 0 $, $ b^2 = 9/2 $ non ha soluzioni in $ mathbb(Q) $;
- se fosse $ b = 0 $, $ a^2 = 3 $ non ha soluzioni in $ mathbb(Q) $;
- altrimenti, $ sqrt(2/3) $ si potrebbe scrivere come rapporto di razionali non nulli, e quindi sarebbe un numero razionale... assurdo.
Dov'è l'errore nel ragionamento?
Grazie!
riguardando un esercizio sulla teoria di Galois svolto in classe ho notato un passaggio non chiaro nell'esecuzione, che si può ridurre a una questione di estensioni di campi.
L'affermazione è la seguente: posto $ E := mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $, siccome $ mathbb(Q) (sqrt(3)) $ e $ mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $ sono contenuti in $ E $ allora $ sqrt(3) cdot sqrt(2/3) = sqrt(2) $ appartiene ad $ E $. Quindi $ E(sqrt(2)) = E $.
Ora, a me non risulta che sia $ mathbb(Q) (sqrt(3)) sube E $... se infatti $ sqrt(3) $ appartenesse a $ E $, si potrebbe scrivere $ sqrt(3) = a+b cdot sqrt(2/3) $ con $ a,b in mathbb(Q) $. Da questo segue $ 3 = a^2 +2/3 b^2 +2ab sqrt(2/3) $:
- se fosse $ a = 0 $, $ b^2 = 9/2 $ non ha soluzioni in $ mathbb(Q) $;
- se fosse $ b = 0 $, $ a^2 = 3 $ non ha soluzioni in $ mathbb(Q) $;
- altrimenti, $ sqrt(2/3) $ si potrebbe scrivere come rapporto di razionali non nulli, e quindi sarebbe un numero razionale... assurdo.
Dov'è l'errore nel ragionamento?
Grazie!
Risposte
Non c'è errore nel tuo ragionamento. Prova a riportare il testo originale dell'esercizio.
L'esercizio in realtà è molto più ampio. La parte che mi interessa è: detto $ E $ il campo di spezzamento del polinomio $ f(X) = 3/2 X^4 -3X^2 +1 $, calcolare il gruppo di Galois di $E(sqrt(2))$ su $ mathbb(Q) $.
$ E $ risulta uguale a $ mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $, e l'esercitatore ha usato l'argomentazione precedente per provare che $ Gal(E(sqrt(2))/mathbb(Q)) $ è uguale a $ Gal(E/mathbb(Q)) $, isomorfo a $ D_4 $ per quanto visto durante l'esercizio!
$ E $ risulta uguale a $ mathbb(Q) (sqrt(2/3)) $, e l'esercitatore ha usato l'argomentazione precedente per provare che $ Gal(E(sqrt(2))/mathbb(Q)) $ è uguale a $ Gal(E/mathbb(Q)) $, isomorfo a $ D_4 $ per quanto visto durante l'esercizio!
Chiedo scusa per l'errore di scrittura, il primo gruppo di Galois è il gruppo di Galois di $ E(sqrt(2)) $ su $ mathbb(Q) $.
Non ho controllato che il campo di spezzamento [tex]E[/tex] di quel polinomio sia effettivamente [tex]\mathbb{Q}(\sqrt{2/3})[/tex] ma se lo è allora questa affermazione è falsa:
"TT92":Quel gruppo ha due elementi (perché [tex]E[/tex] ha grado 2 su Q). Prova a riportare questo "per quanto visto" di cui parli.
$ Gal(E/mathbb(Q)) $, isomorfo a $ D_4 $ per quanto visto durante l'esercizio!
In realtà ora ho capito dove sbagliavo... identificavo il campo di spezzamento di $ f $ con il campo di spezzamento del suo risolvente cubico, anche perché la notazione cambiava nel corso dell'esercizio!
Grazie per l'aiuto comunque, chiedo scusa per non aver visto prima un errore così stupido!
Grazie per l'aiuto comunque, chiedo scusa per non aver visto prima un errore così stupido!
Prego ciao 
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