Estensioni di campi
Domanda teorica... se ho un campo $F \sub E$ e $\alpha, \beta \in E$, allora:
$ F(\alpha) =$ { $\sum a_i\alpha^i$ $\text{t.c.} a_i \in E$ } e $F(\alpha, \beta) =$ { $\sum a_(i,j)\alpha^i\beta^j$ $\text{t.c.} a_(i,j) \in E $ } ?
Per esempio, $QQ(e) = a_0 + a_1e + \text{...} + a_n e^n + \text{... t.c.} a_i \in QQ ?$
Grazie mille
, stavo facendo degli esercizi sul grado e senza avere chiari questi concetti basilari non penso vado avanti 
$ F(\alpha) =$ { $\sum a_i\alpha^i$ $\text{t.c.} a_i \in E$ } e $F(\alpha, \beta) =$ { $\sum a_(i,j)\alpha^i\beta^j$ $\text{t.c.} a_(i,j) \in E $ } ?
Per esempio, $QQ(e) = a_0 + a_1e + \text{...} + a_n e^n + \text{... t.c.} a_i \in QQ ?$
Grazie mille
, stavo facendo degli esercizi sul grado e senza avere chiari questi concetti basilari non penso vado avanti
Risposte
Hey, ciao!
Scusa in anticipo se il mio post è fuori luogo.
Per quel poco che ne so io, non devi considerare il problema della trascendenza? Voglio dire quello che hai scritto tu va bene se l'elemento è algebrico, ma non se è trascendente. Dico bene?
Guarda: prendi $QQ subset RR$. Sei d'accordo con me che $QQ(sqrt3)={a_1+a_2sqrt3, a_i in QQ}=QQ[sqrt3]$? Ciò è dovuto al fatto che $sqrt3$ è algebrico su $QQ$ (perchè radice di $x^2-3$).
Se l'elemento invece è trascendente penso tu debba ricorrere alla definizione "pura": quindi $QQ(e)={(a_0+a_1e+a_2e^2+...+a_se^s)/(b_0+b_1e+b_2e^2+...+b_re^r), a_i,b_i in QQ}$.
Più in generale, un'estensione semplice - o, se proprio vuoi, anche una finitamente generata - ha una struttura semplice da studiare: detto $alpha$ l'elemento che "aggiungi" (mettiamo che l'estensione sia semplice, che è il caso più facile) a $F subset E$ hai che
$F(alpha)={(a_0+a_1alpha+a_2alpha^2+...+a_salpha^s)/(b_0+b_1alpha+b_2alpha^2+...+b_ralpha^r), a_i,b_i in F}$.
Se poi $alpha$ è algebrico su $F$ allora puoi semplificare notevolmente e l'espressione diventa come quella che ti ho segnato sopra nel caso di $QQ(sqrt3)$.
Spero di non aver scritto scemenze.
Scusa in anticipo se il mio post è fuori luogo.
Per quel poco che ne so io, non devi considerare il problema della trascendenza? Voglio dire quello che hai scritto tu va bene se l'elemento è algebrico, ma non se è trascendente. Dico bene?
Guarda: prendi $QQ subset RR$. Sei d'accordo con me che $QQ(sqrt3)={a_1+a_2sqrt3, a_i in QQ}=QQ[sqrt3]$? Ciò è dovuto al fatto che $sqrt3$ è algebrico su $QQ$ (perchè radice di $x^2-3$).
Se l'elemento invece è trascendente penso tu debba ricorrere alla definizione "pura": quindi $QQ(e)={(a_0+a_1e+a_2e^2+...+a_se^s)/(b_0+b_1e+b_2e^2+...+b_re^r), a_i,b_i in QQ}$.
Più in generale, un'estensione semplice - o, se proprio vuoi, anche una finitamente generata - ha una struttura semplice da studiare: detto $alpha$ l'elemento che "aggiungi" (mettiamo che l'estensione sia semplice, che è il caso più facile) a $F subset E$ hai che
$F(alpha)={(a_0+a_1alpha+a_2alpha^2+...+a_salpha^s)/(b_0+b_1alpha+b_2alpha^2+...+b_ralpha^r), a_i,b_i in F}$.
Se poi $alpha$ è algebrico su $F$ allora puoi semplificare notevolmente e l'espressione diventa come quella che ti ho segnato sopra nel caso di $QQ(sqrt3)$.
Spero di non aver scritto scemenze.
"Paolo90":
Scusa in anticipo se il mio post è fuori luogo.
Macchè, è benvenuto ogni consiglio in attesa del libro che (prima o poi) arriverà
Faccio un riassunto mio per evitare dubbi da quello che hai detto:
1) Se $\alpha \in E$ è algebrico su $F \sub E$, allora $F(\alpha) = F[\alpha] = { a_0 +a_1\alpha + ... + a_n\alpha^n, a_i \in F }$ (ma da cosa è garantito esattamente il fatto che, se $\alpha$ è algebrico, il polinomio al denominatore può essere sempre razionalizzato?)
2) Se $\alpha \in E$ è trascendente su $F \sub E$, allora $F(\alpha)={(a_0+a_1alpha+a_2alpha^2+...+a_salpha^s)/(b_0+b_1alpha+b_2alpha^2+...+b_ralpha^r), a_i,b_i in F}$ e inoltre abbiamo sempre che $[E] = \+infty$ in quanto, $\forall n$, ${1, alpha, ... , alpha^n}$ sono $n+1$ elementi linearmente indipendenti (per la trascendenza di $\alpha$).
Sperando di non aver scritto sciocchezze
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