Estensioni di campi
Buongiorno. Avrei un esercizio che non riesco a completare. Spero mi possiate dare una mano.
ES: Sia \( p \) primo, \( p\geq 2 \) e \( k=\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p} \) . Dire se l'estensione \( Q(k)|Q \) è normale.
Sol: Ho determinato il polinomio minimo \( f=x^3-3px-p(p+1) \) di \( k \) su \( Q \) . Osservo che \( f \) è irriducibile in base al criterio di Heisenstein. Pertanto \( [Q(k):Q]=deg(f)=3 \) .
Ora, \( Q(k)|Q \) è normale \( \Leftrightarrow \) \( Q(k) \) è il campo di spezzamento per per \( f \) . Bisogna, quindi, vedere se le radici di \( f \) si possono scrivere come combinazione di \( k \) . Osservo che
\( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})=Q(\sqrt[3]{p}) \) in quanto \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})\subseteq Q(\sqrt[3]{p}) \) e \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})\supseteq Q(\sqrt[3]{p}) \) poichè hanno lo stesso grado. A questo punto si può vedere se \( Q(\sqrt[3]{p}) \) è normale.......
Da qui non so come proseguire... cioè coem dimostrare che \( Q(\sqrt[3]{p}) \) è o non è normale.
Vi ringrazio per la disponibilità.
ES: Sia \( p \) primo, \( p\geq 2 \) e \( k=\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p} \) . Dire se l'estensione \( Q(k)|Q \) è normale.
Sol: Ho determinato il polinomio minimo \( f=x^3-3px-p(p+1) \) di \( k \) su \( Q \) . Osservo che \( f \) è irriducibile in base al criterio di Heisenstein. Pertanto \( [Q(k):Q]=deg(f)=3 \) .
Ora, \( Q(k)|Q \) è normale \( \Leftrightarrow \) \( Q(k) \) è il campo di spezzamento per per \( f \) . Bisogna, quindi, vedere se le radici di \( f \) si possono scrivere come combinazione di \( k \) . Osservo che
\( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})=Q(\sqrt[3]{p}) \) in quanto \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})\subseteq Q(\sqrt[3]{p}) \) e \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})\supseteq Q(\sqrt[3]{p}) \) poichè hanno lo stesso grado. A questo punto si può vedere se \( Q(\sqrt[3]{p}) \) è normale.......
Da qui non so come proseguire... cioè coem dimostrare che \( Q(\sqrt[3]{p}) \) è o non è normale.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Risposte
Un'estensione è normale se per ogni zero del polinomio minimo questo appartiene all'estensione. Nel tuo caso quali sono gli zeri del tuo polinomio minimo? Appartengono tutti a $QQ(root[3]{p^2}+root[3]{p})$
il che implica che \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p}) \) è normale. Poichè \( Q(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[3]{p})=Q(\sqrt[3]{p}) \) implica che anche \( Q(\sqrt[3]{p}) \) è normale. giusto?
Sei sicuro sicuro siano uguali?
dal mio svolgimento mi risulta così...ho sbagliato qualcosa?
Se sono uguali sei apposto 
Come generi $root(3)(p^2)$ in $QQ(root(3)p)$
Come generi $root(3)(p^2)$ in $QQ(root(3)p)$
Il ragionamento di @boldix91 e' perfetto.
I campi $QQ(root(3)(p)+root(3)(p^2))$ e $QQ(root(3)(p))$ sono uguali.
Ma non si tratta di un'estensione normale di $QQ$.
Perche' se fosse cosi', anche i quozienti $\zeta$ delle radici di $X^3-p$
sarebbero in $QQ(root(3)(p))$. E questo non e' possibile perche'
$[QQ(\zeta):QQ]=2$ non e' un divisore di $[QQ(root(3)(p)):QQ]=3$.
I campi $QQ(root(3)(p)+root(3)(p^2))$ e $QQ(root(3)(p))$ sono uguali.
Ma non si tratta di un'estensione normale di $QQ$.
Perche' se fosse cosi', anche i quozienti $\zeta$ delle radici di $X^3-p$
sarebbero in $QQ(root(3)(p))$. E questo non e' possibile perche'
$[QQ(\zeta):QQ]=2$ non e' un divisore di $[QQ(root(3)(p)):QQ]=3$.
ciao @Stickelberger. Mi torna a pieno il tuo ragionamento. L'unica cosa che non capisco è cosa intendi con i quozienti \( \zeta \) delle radici di \( x^3-p \) ?
Ciao!
Se $\alpha$ e $\beta$ sono due zeri distinti di $X^3-p$, allora il
quoziente $\zeta=\alpha$/$\beta$ soddisfa $\zeta^3=\alpha^3$/$\beta^3=p$/$p=1$.
In altre parole, $\zeta$ e' uno zero di $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$.
Poiche' $\zeta!=1$, e' persino uno zero del polinomio irriducibile $X^2+X+1$.
Se $\alpha$ e $\beta$ sono due zeri distinti di $X^3-p$, allora il
quoziente $\zeta=\alpha$/$\beta$ soddisfa $\zeta^3=\alpha^3$/$\beta^3=p$/$p=1$.
In altre parole, $\zeta$ e' uno zero di $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$.
Poiche' $\zeta!=1$, e' persino uno zero del polinomio irriducibile $X^2+X+1$.
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