Estensioni di campi
Buongiorno. Avrei un esercizio che non mi torna. L'ho iniziato, ma non riesco a concludere (in realtà, concettualmente credo di averlo capito ma non riesco a formalizzarlo).
ES: Sia $ finQ[x] $ un polinomio irriducibile di grado 4; sia E un campo di spezzamento per f in C (complessi). Suppongo che f abbia due radici reali $ alpha $ e $ beta $ e due radici non reali $ gamma$ e $ bar(gamma ) $ . Sia L = E ∩ R (R sono i reali). Provare che [E]=2.
Sol: \( E\nsubseteq R \) poiché \( \gamma ,\bar{\gamma }\in E \) ma \( \gamma ,\bar{\gamma }\notin R \) . Osservo che \( Q(\alpha ,\beta )\subseteq L \) e \( E=Q(\alpha ,\beta ,\gamma ,\bar{\gamma })=Q(\alpha ,\beta ,\gamma ) \) .
Da qui, però, non so come procedere.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Saluti.
ES: Sia $ finQ[x] $ un polinomio irriducibile di grado 4; sia E un campo di spezzamento per f in C (complessi). Suppongo che f abbia due radici reali $ alpha $ e $ beta $ e due radici non reali $ gamma$ e $ bar(gamma ) $ . Sia L = E ∩ R (R sono i reali). Provare che [E]=2.
Sol: \( E\nsubseteq R \) poiché \( \gamma ,\bar{\gamma }\in E \) ma \( \gamma ,\bar{\gamma }\notin R \) . Osservo che \( Q(\alpha ,\beta )\subseteq L \) e \( E=Q(\alpha ,\beta ,\gamma ,\bar{\gamma })=Q(\alpha ,\beta ,\gamma ) \) .
Da qui, però, non so come procedere.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Saluti.
Risposte
Scherzo, si può fare 
Quanto è il rapporto tra le dimensioni $[Q(sqrt(2)):Q]$?
Quanto è il rapporto tra le dimensioni $[Q(sqrt(2)):Q]$?
il grado dell'estensione \( [Q(\sqrt2):Q]=2 \) ...se non sbaglio. ma non capisco cosa c'entri scusa?
L'estensione di
$[Q(alpha, beta,gamma):Q(alpha, beta)]$
?
$[Q(alpha, beta,gamma):Q(alpha, beta)]$
?
non lo so altrimenti non postavo l'esercizio... in realtà a \( Q[\alpha ,\beta ,\gamma ] \) inserisci una radice in più rispetto a \( Q[\alpha ,\beta ,] \)
Hai una definizione su cui ti basi? La risposta ce l'hai davanti il naso
Più che sulla definizione, a questo punto mi baso sulla formula dei gradi...ma non so come procedere
Visto che la soluzione è complessa, di che grado sarà il suo polinomio minimo?
di grado 3? hai 3 radici \( \alpha ,\beta ,\gamma \)
Niet! Avrai un polinomio minimo fatto così:
$(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)(x-\bar gamma)$
Però tu adesso sei in un campo dove hai già questo polinomio:
$(x-alpha)(x-beta)$
Quindi è come se avessi aggiunto solo la seconda parte a quel polinomio:
$(x-gamma)(x-\bar gamma)$
Che ha che grado?
$(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)(x-\bar gamma)$
Però tu adesso sei in un campo dove hai già questo polinomio:
$(x-alpha)(x-beta)$
Quindi è come se avessi aggiunto solo la seconda parte a quel polinomio:
$(x-gamma)(x-\bar gamma)$
Che ha che grado?
2 se non mi sbaglio
Esatto!
ti ringrazio
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