Estensioni di campi
Buonasera a tutti. Sono nuovo del Forum. Avrei dei problemi nella risoluzione del seguente esercizio:
ES: Descrivere il campo di spezzamento del polinomio x^(5)-2 su Q (insieme dei razionali). Trovare i generatori e determinare il suo grado.
Se possibile gradirei un procedimento abbastanza dettagliato, in quanto non ho proprio capito lo svolgimento.
Vi ringrazio per la disponibiltà.
Saluti. [xdom="Martino"]Ho messo il titolo in minuscolo e ho tolto la parola "aiuto".[/xdom]
ES: Descrivere il campo di spezzamento del polinomio x^(5)-2 su Q (insieme dei razionali). Trovare i generatori e determinare il suo grado.
Se possibile gradirei un procedimento abbastanza dettagliato, in quanto non ho proprio capito lo svolgimento.
Vi ringrazio per la disponibiltà.
Saluti. [xdom="Martino"]Ho messo il titolo in minuscolo e ho tolto la parola "aiuto".[/xdom]
Risposte
Tu fino a dove sei arrivato? Almeno un divisore dovresti trovarlo facilmente 
come ho già scritto non ho proprio capito lo svolgimento. se per cortesia potreste farmi vedere come si risolve l'esercizio
Per spezzare il polinomio devi dividerlo in polinomi di primo grado in un adeguato campo. Sappiamo che sicuramente in $CC$, essendo completo, possiamo trovare come si spezza in polinomi di primo grado, in particolare trattandosi di una radice quinta di un numero complesso possiamo usare le formule di De Moivre:
$(x -2^(1/5))(x-2^(1/5) e^(2pi i/5))(x-2^(1/5) e^(4pi i/5))(x-2^(1/5) e^(6pi i/5))(x-2^(1/5) e^(8pi i/5))$
Non appartenendo nessuno di questi a $QQ$ dovrai aggiungerli "manualmente":
$Q[2^(1/5), 2^(1/5) e^(2pi i/5), 2^(1/5) e^(4pi i/5),2^(1/5) e^(6pi i/5),2^(1/5) e^(8pi i/5)]$.
Questo spazio avrà dimensione pari a $QQ^5$.
$(x -2^(1/5))(x-2^(1/5) e^(2pi i/5))(x-2^(1/5) e^(4pi i/5))(x-2^(1/5) e^(6pi i/5))(x-2^(1/5) e^(8pi i/5))$
Non appartenendo nessuno di questi a $QQ$ dovrai aggiungerli "manualmente":
$Q[2^(1/5), 2^(1/5) e^(2pi i/5), 2^(1/5) e^(4pi i/5),2^(1/5) e^(6pi i/5),2^(1/5) e^(8pi i/5)]$.
Questo spazio avrà dimensione pari a $QQ^5$.
ti ringrazio. veramente esaudiente.
grazie ancora
grazie ancora
Non capisco lo "spazio" di @Maci86. Se si tratta del campo generato da $2^{1/5}e^{{2\pi i}/5$ $\ldots$ etc,
allora la sua dimensione e' $20$. Se invece indica in qualche modo lo spazio vettoriale
su $QQ$ generato da $2^{1/5}e^{{2\pi i}/5$ $\ldots$ etc, allora non e' un campo.
allora la sua dimensione e' $20$. Se invece indica in qualche modo lo spazio vettoriale
su $QQ$ generato da $2^{1/5}e^{{2\pi i}/5$ $\ldots$ etc, allora non e' un campo.
Per evitare malintesi: il campo di spezzamento di $X^5-2$ e' uguale
a $K=QQ(root(5)(2), \zeta_5)$ dove $\zeta_5$ e' una radice primitiva quinta dell'unita'.
Il grado $[K:\QQ]$ e' uguale a $20$.
In altre parole, $K$ e' un $QQ$-spazio vettoriale di dimensione $20$.
Una base e' data dai prodotti $root(5)(2)^i\zeta_5^j$ per $0\le i\le 4$ e $0\le j\le 3$.
a $K=QQ(root(5)(2), \zeta_5)$ dove $\zeta_5$ e' una radice primitiva quinta dell'unita'.
Il grado $[K:\QQ]$ e' uguale a $20$.
In altre parole, $K$ e' un $QQ$-spazio vettoriale di dimensione $20$.
Una base e' data dai prodotti $root(5)(2)^i\zeta_5^j$ per $0\le i\le 4$ e $0\le j\le 3$.
Come mai dici che j varia tra 0 e 3 e non tra zero e due?
Perche' $\zeta_5^3$ sta in $K$ e non e' combinazione $QQ$-lineare dei prodotti che hanno $0\le j\le 2$.
Non è il coniugato di $zeta_5^2$ moltiplicato per un multiplo di $2^(1/5)$?
Il coniugio complesso non c'entra. E' una questione di algebra lineare.
I venti prodotti che ho scritto formano una base del $QQ$-spazio vettoriale $K$.
Cioe', ogni elemento di $K$ e' una somma dei venti prodotti con coefficienti in $QQ$.
Il grado di $K$ e' per definizione la cardinalita' della base.
I venti prodotti che ho scritto formano una base del $QQ$-spazio vettoriale $K$.
Cioe', ogni elemento di $K$ e' una somma dei venti prodotti con coefficienti in $QQ$.
Il grado di $K$ e' per definizione la cardinalita' della base.
Ok, ma allora a quel punto la quarta radice complessa dovrebbe essere anche lei un generatore o sbaglio?
No,no,
$\zeta_5$ e' uno zero del polinomio $X^4+X^3+X^2+X+1$ e si ha quindi che
$\zeta_5^4 = -\zeta_5^3-\zeta_5^2-\zeta_5-1$.
Non e' un caso che il grado di $K$ e' il prodotto dei gradi dei polinomi
irriducibili $X^5-2$ e $X^4+X^3+X^2+X+1$ di $QQ[X]$.
$\zeta_5$ e' uno zero del polinomio $X^4+X^3+X^2+X+1$ e si ha quindi che
$\zeta_5^4 = -\zeta_5^3-\zeta_5^2-\zeta_5-1$.
Non e' un caso che il grado di $K$ e' il prodotto dei gradi dei polinomi
irriducibili $X^5-2$ e $X^4+X^3+X^2+X+1$ di $QQ[X]$.
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