Estensioni

[olilau]

Ciao a tutti!!.....non riesco a risolvere un paio di quesiti,qualcuno può darmi una mano?:
(1) devo dire se è vero o falso che $ ZZ$/$2ZZ$ contenuto in $ZZ$/$2ZZ[x]$/$(x^4+x+1)$ è un'estensione di campi di grado 4
(2) è vero o falso che dati $ n \geq 2 $ numeri primi distinti p1,...,pn la radice n-esima del prodotto $ root(n)(p1*...*pn) $ è sempre irrazionale?

Per la prima domanda devo dimostrare che $ZZ$/$2ZZ$ è un sottocampo?...help!!

[mauro.bona]

Per (1) ti basta dimostrare che il polinomio $x^4+x+1$ e' irriducibile sul campo ℤ/2ℤ[x], ed hai automaticamente che l'estensione e' di grado 4;
per (2) la risposta e' vero, si dimostra facendo vedere che il polinomio minimo di quella radice su $QQ[x]$ e' irriducibile, quindi non ha zeri su $ QQ $ (il che significa che la radice, che e' uno zero del polinomio minimo, non e' razionale).

[olilau]

Okay grazie!! non era poi cosi' difficile... ora posso affermare che $bar 1$+$barx^2$ e' un elemento invertibile contenuto in $ℤ$/$2ℤ[x]$/$(x^4+x+1)$?

[mauro.bona]

Si, perché in un campo tutti gli elementi ammettono inverso, devi solo verificare che quell'elemento stia effettivamente nel campo.

[olilau]

Grazie mille!!..ma come faccio a verificare che è effettivamente un elemento del campo?

[giulia.cona]

gli elementi del campo sono dati da tutte le possibili combinazioni lineari degli elementi della sua base...