Estensione separabile

[thedarkhero]

Voglio mostrare che l'estensione $(QQ[root(3)(2)])"/"QQ$ è separabile.
Dovrei verificare che per ogni elemento $alpha\inQQ[root(3)(2)]$ il polinomio minimo di $alpha$ su $QQ$ ha tutte le radici distinte ma operativamente non posso eseguire questa verifica visto che dovrei farla per infiniti elementi.
Avete qualche suggerimento su come procedere?

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Ricorda che uno zero multiplo di un polinomio è uno zero che lui ha in comune con il suo polinomio derivato (questo è un fatto classico che dovresti sapere).

Ma il polinomio minimo di un elemento divide tutti i polinomi che ce l'hanno come zero ... quindi?

[Thomas16]

Mmmm... ma ogni estensione algebrica di Q e' separabile, o prendo un abbaglio?

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Dici bene Thomas

[thedarkhero]

Chiaramente se il polinomio minimo di un elemento dell'estensione avesse una radice multipla allora questa sarebbe radice anche del polinomio derivato, allora come mi hai suggerito il polinomio minimo dovrebbe dividere il suo polinomio derivato ma questo è impossibile perché il grado di un polinomio non nullo è maggiore del grado del suo polinomio derivato.
Ma allora potrei dedurre che ogni estensione algebrica è separabile?

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Puoi dedurre che ogni estensione algebrica è separabile in caratteristica zero

In caratteristica $p$ il polinomio derivato può essere nullo, pensa a $x^p-a$. Confronta con questo.