Estensione quadratica e anello degli interi

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Vorrei domandare alcune cose rispetto a questo esercizio
Sia \( K/ \mathbb{Q} \) un estensione quadratica. Sia \( \mathcal{O}_K \) l'anello degli interi di \(K\),i.e. la chiusura di \( \mathbb{Z} \) in \(K\).

a) Dimostra che \(K=\mathbb{Q} (\sqrt{d}) \) per qualche \(d\in \mathbb{Z} \) privo di quadrati
b) Per \(z=a+b\sqrt{d} \) calcola \( \operatorname{N}_{K/\mathbb{Q}}(z) \) e \( \operatorname{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \)
c) Dimostra che \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \) se \( d \equiv 2,3 \mod 4 \) e \( \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}] \) se \( d \equiv 1 \mod 4 \).
d) Calcola il gruppo delle unità \( \mathcal{O}_K^{\times} \)
e) Sia \( E/F\) un estensione separabile, una \(F\)-base di \(E\): \( \{ \alpha_1,\ldots,\alpha_n \} \), il discrimnante di \(E/F\) rispetto a questa base è definito essere
\[ \Delta(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) := \operatorname{det}( (\operatorname{Tr}_{E/F}(\alpha_i \alpha_j)_{i,j} ) ) \]
Scegli una \( \mathbb{Z} \)-base di \( \mathcal{O}_K \) e calcola il discriminante di \(K/\mathbb{Q} \) rispetto a questa base. Come cambia in a dipendenza della base scelta?

Per a) ho fatto così va bene oppure non posso supporre che il polinomio abbia coefficienti in \( \mathbb{Z} \)?

Abbiamo che \( [K: \mathbb{Q} ]=2\) quindi per un arbitrario \( \alpha \in K \setminus \mathbb{Q} \) abbiamo che \( \mathbb{Q}(\alpha)=K \) e \( K \) è un \( \mathbb{Q} \)-spazio vettoriale di dimension 2 con base \( \{1,\alpha\} \) pertanto abbiamo che esistono \(a,b \in \mathbb{Q} \) tale che
\[ \alpha^2 + a \alpha + b = 0 \]
possiamo supporre \( a,b\in \mathbb{Z} \). Pertanto abbiamo che
\[ \alpha = \frac{-a + \sqrt{d}}{2} \]
dove possiamo supporre che \( d \), il discriminante dell'equazione, è un intero privo di quadrati poiché altrimenti, \( d=r^2 d' \) con \(d' \) privo di quadrati e abbiamo dunque
\[ \alpha = \frac{-a + r\sqrt{d'}}{2} \]
da cui deduciamo che
\[ K= \mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}\left( \frac{-a + \sqrt{d}}{2} \right) = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) \]

per b)

Abbiamo che \( K= \mathbb{Q}( \sqrt{d} ) \) per qualche \(d\)-square free. Allora possiamo vedere \( \mathbb{Q}( \sqrt{d} ) \) come \(\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale di dimensione 2 con base \((1,\sqrt{d})\). Abbiamo che la traccia di \(z\) è definita essere la traccia della matrice associata all'homomorphismo
\[ [\times z] : K \to K \]
\[ x \mapsto xz \]
abbiamo che la matrice associata alla moltiplicazione per \(z\) è data
\[ \begin{pmatrix}
a & bd\\
b& a
\end{pmatrix} \]
infatti \( (a+b\sqrt{d}) (x+y\sqrt{d}) = (ax+byd) +(bx+ay)\sqrt{d} \)
Allora abbiamo che
\[ \operatorname{tr}([\times z ]_{K/\mathbb{Q}}) = \operatorname{tr}_{K/\mathbb{Q}}(z)= 2a \]
Similmente abbiamo che la norma è data da
\[ \operatorname{Nr}_{K/\mathbb{Q}}(z) = \det ( [\times z]_{K/\mathbb{Q}} ) = a^2 - b^2d \]

c)
-In generale come si fa a trovare l'anello degli interi? Penso sia sufficiente trovare una base di \( \mathcal{O}_K \) che sia intera su \(\mathbb{Z} \), ma come fare a trovarla? Cioè cosa mi assicura che \( b_1,\ldots,b_r \in \mathcal{O}_K \) formano una base (dello \(\mathbb{Z}\)-modulo) tale ogni elemento è intero su \( \mathbb{Z} \)?
- C'è un modo più rapido di come ho fatto io?

Siccome l'estensione è quadratica allora un elemento \(K\) è intero su \( \mathbb{Z} \) se e solo se la sua norma e la sua traccia sono interi.
Indpendentemente dal valore di \( d \) abbiamo
\[ \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \subseteq \mathcal{O}_K \]
siccome se \( z:=a+b\sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}] \) allora chiaramente abbiamo che
\[ \operatorname{tr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \in \mathbb{Z} \]
e
\[ \operatorname{Nr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \in \mathbb{Z} \]

mentre se \(d \equiv 1 \mod 4 \) allora abbiamo chiaramente che
\[ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}] \subseteq \mathcal{O}_K \]
siccome
\[ \operatorname{tr}_{K/\mathbb{Q}}(z)= 2a+b \in \mathbb{Z} \]
e
\[ \operatorname{Nr}_{K/\mathbb{Q}}(z)= a^2+ab+ \frac{b^2(1-d)}{4} \in \mathbb{Z} \]

Per le altre inclusioni invece supponiamo che sia \( z =a+b\sqrt{d}\in \mathcal{O}_K \subset K \), allora siccome il grado dell'estensione di campo è 2 il polinomio minimo è uguale al polinomio caratteristico, pertanto
\[ P_{K/\mathbb{Q}, car,z}(X) = X^2 - \operatorname{tr}_{K/\mathbb{Q}}(z) X + \operatorname{Nr}_{K/\mathbb{Q}}(z) \]
da cui
\[ X^2 - 2aX + (a^2-b^2d) \]
ora i coefficienti sono interi se \(a= \frac{a'}{2} \) con \(a'\) intero. Supponiamo che \( \frac{a'}{2} \) è intero, allora \( a^2 \) è intero, da cui risulta che \( a^2 - b^2d \) è intero se e solo se \(b^2d \) è intero. Ma abbiamo quindi che \(b^2 = \frac{x^2}{y^2}d \in \mathbb{Z} \) se e solo se \( y^2 = m^2 d \), con \( m^2 \mid x^2 \). Ma abbiamo che \( d \) è privo di quadrati quindi se \(a\) è intero abbiamo che \(x=0\) oppure \(y=1\).
Se \( a \) è un "mezzo intero \), i.e. \( \{ \frac{a'}{2} \} = \frac{1}{2} \), allora abbiamo che \( a^2 - b^2d \) è intero se e solo se \( \frac{a'^2}{4} - b^2 d \), ora \(a'^2 = 4n + r \) con \(r=1,3\) per cui
\[ n + \frac{r}{4} - b^2 d \in \mathbb{Z} \]
se e solo se \(b^2 = \frac{r}{4} \) infatti
\[n+ \frac{r(1-d)}{4} \in \mathbb{Z} \]
da cui risulta che è intero se e solo se \( a' \equiv b \mod 4 \) e \( d \equiv 1 \mod 4 \).
Riassumendo:
Se \( d \equiv 2,3 \mod 4 \) risulta che i coefficenti sono interi se e solo se \(a\) e \(b \) sono interi.
Mentre se \( d \equiv 1 \mod 4 \) allora i coefficienti sono interi se e solo se \(a\) e \(b\) sono entrambi interi oppure entrambi mezzi interi e in questo caso possiamo dunque scrivere ciascuno di questi numeri della forma
\[ a+b\sqrt{d} = x + y \left( \frac{1+\sqrt{d}}{2} \right) \in \mathbb{Z}\left( \frac{1+\sqrt{d}}{2} \right) \]
infatti abbiamo che \(x + \frac{y}{2} \), e \( \frac{y}{2} \) sono entrambi interi oppure entrambi mezzi interi.
Pertanto abbiamo l'altra inclusione.

d) Non saprei troppo bene

Immagino che le unità abbiano norma \(\pm 1\), pertanto le unità le unità sono solo \( \pm 1 \).

e) Non capisco troppo bene come sia possibile trovare una \( \mathbb{Z}\)-base di \( \mathcal{O}_K \)...

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"3m0o":
d) Non saprei troppo bene

Immagino che le unità abbiano norma \(\pm 1\), pertanto le unità le unità sono solo \( \pm 1 \).

Nope!

Chiaramente abbiamo che \( \mathcal{O}_K^{\times} := \{ z \in \mathcal{O}_K : \operatorname{Nr}_{K/\mathbb{Q}}(z) = \pm 1 \} \), ma questo significa che \( \left| a^2-b^2 d \right| = 1 \) pertanto abbiamo che \( \mathcal{O}_K^{\times} \) è formato dalle soluzioni dell'equazione di Pell. E se esistono delle soluzioni a questa equazioni che non sono banali, cioè diverse da \( \pm 1 \), allora esiste \(z_0 \in \mathcal{O}_K^{\times} \) tale che \( \{ \pm z_0^n , n \in \mathbb{Z} \} = \mathcal{O}_K^{\times} \). Ma per trovare questa unità fondamentale... boh. Suggerimenti?

Edit: Suggerimento: il mio post sull'equazione di Pell
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=212287&p=8489216&hilit=pell#p8489216

Abbiamo che esistono due soluzioni \( (x_1,y_1), (x_2,y_2) \) all'equazione di Pell \( x^2-dy^2=1 \) tale che \( x_1 \equiv x_2 \mod n \) e \( y_1 \equiv y_2 \mod n \) dove \( 1 \leq \left| n \right| \leq 2 \sqrt{d} + 1 \) e, ponendo dunque \(z_i = x_i + y_i \sqrt{d} \) per \(i=1,2 \) abbiamo che l'unità fondamentale è \( z_0 = z_1/z_2 \).
Quindi \[ \mathcal{O}_K^{\times} = \{\pm z_0^n: n \in \mathbb{Z}\} \]

Giusto?