Estensione di omomorfismi di gruppo
Salve,
Ho queste ipotesi:
$G_1$ e $G_2$ due gruppi tali che $|G_1|=p^{\alpha}m$, $|G_2|=p^{\alpha}m'$ dove $MCD(m,p)=MCD(m',p)=1$ ed $m'\geq m$.
Affermo che: Se $\exists \psi: G_1 \rightarrow G_2$ immersione di gruppi $\implies$ i p-Sylow di $G_1$ e di $G_2$ hanno la stessa struttura di gruppo.
Ho già dimostrato questa proposizione. Ora mi sto chiedendo: vale il viceversa? Cioè, se i p-Sylow di entrambi i gruppi sono isomorfi allora esiste un'immersione di $G_1$ in $G_2$ con queste ipotesi?
So che se $P$ è un p-Sylow di $G_1$ e $P'$ è un p-Sylow di $G_2$, se questi sono isomorfi per ipotesi, allora $\exists f: P \rightarrow P'$ isomorfismo di gruppi. A questo punto la questione diventa: esiste una $\psi :G_1 \rightarrow G_2$ omomorfismo tale che $\psi|_{P}=f$?
E' qui che vi chiedo un aiuto. Va bene anche se mi indicate un teorema che parli di estensioni di omomorfismi sui gruppi. Se questa freccia fosse falsa naturalmente vi chiedo un controesempio per favore.
Grazie in anticipo
Ho queste ipotesi:
$G_1$ e $G_2$ due gruppi tali che $|G_1|=p^{\alpha}m$, $|G_2|=p^{\alpha}m'$ dove $MCD(m,p)=MCD(m',p)=1$ ed $m'\geq m$.
Affermo che: Se $\exists \psi: G_1 \rightarrow G_2$ immersione di gruppi $\implies$ i p-Sylow di $G_1$ e di $G_2$ hanno la stessa struttura di gruppo.
Ho già dimostrato questa proposizione. Ora mi sto chiedendo: vale il viceversa? Cioè, se i p-Sylow di entrambi i gruppi sono isomorfi allora esiste un'immersione di $G_1$ in $G_2$ con queste ipotesi?
So che se $P$ è un p-Sylow di $G_1$ e $P'$ è un p-Sylow di $G_2$, se questi sono isomorfi per ipotesi, allora $\exists f: P \rightarrow P'$ isomorfismo di gruppi. A questo punto la questione diventa: esiste una $\psi :G_1 \rightarrow G_2$ omomorfismo tale che $\psi|_{P}=f$?
E' qui che vi chiedo un aiuto. Va bene anche se mi indicate un teorema che parli di estensioni di omomorfismi sui gruppi. Se questa freccia fosse falsa naturalmente vi chiedo un controesempio per favore.
Grazie in anticipo
Risposte
"Isaac888":Prova a pensare ai gruppi ciclici $C_6$ (gruppo ciclico di ordine 6) e $C_(10)$ (gruppo ciclico di ordine 10). Come è fatto il loro $2$-Sylow? $C_6$ si può immergere in $C_(10)$? $C_(10)$ si può immergere in $C_6$?
Ora mi sto chiedendo: vale il viceversa? Cioè, se i p-Sylow di entrambi i gruppi sono isomorfi allora esiste un'immersione di $G_1$ in $G_2$ con queste ipotesi?
"Martino":Prova a pensare ai gruppi ciclici $C_6$ (gruppo ciclico di ordine 6) e $C_(10)$ (gruppo ciclico di ordine 10). Come è fatto il loro $2$-Sylow? $C_6$ si può immergere in $C_(10)$? $C_(10)$ si può immergere in $C_6$?[/quote]
[quote="Isaac888"]Ora mi sto chiedendo: vale il viceversa? Cioè, se i p-Sylow di entrambi i gruppi sono isomorfi allora esiste un'immersione di $G_1$ in $G_2$ con queste ipotesi?
Allora: il 2-Sylow di $C_6$ è $<[3]_6>$, il 2-Sylow di $C_10$ è $<[5]_10>$. $C_6$ non si può immergere in $C_10$ perchè 6 non divide 10. Nemmeno il viceversa perchè 10 non divide 6 (quindi non vale il viceversa della mia affermazione principale e questo è un controesempio).
grazie mille
PS: se mai servisse a qualcuno e non fossi stato abbastanza chiaro nel mio post principale quando parlo di p-Sylow intendo per un p fissato che divide l'ordine dei gruppi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo