Estensione di campo.
Sia $Q(root(3)(2),j)$ con $Q$ campo dei razionali, estensione di campo, dove $j=e^((2i(pi))/3)$, visto come spazio vettoriale che dimensione ha? Qual'è una base di tale spazio?
Risposte
Tu che ne pensi? Hai provato a lavorarci sopra?
Il campo di spezzamento deve contenere tutte le radici, si vede facilmente che $Q(root(3)(2),root(3)(2)j, root(3)(2)j^2)$ $=Q(root(3)(2),j)$, ho individuato i due polinomi minimi, $x^3-2$ ed $x^2 +x+1$, $[Q(root(3)(2)):Q]=3 $ è uno spazio vettoriale di dimensione $3$, $[Q(j):Q]=2 $ ha dimensione $2$, quindi $[Q(root(3)(2),j:Q]=3xx2=6$, una base di questo spazio vettoriale è data da $1,root(3)(2),root(3)(2)^2,j, root(3)(2)j,root(3)(2)^2j$ cioè ogni elemento dello spazio vettoriale $[Q(root(3)(2),j):Q$ può essere espresso come combinazione lineare della base,giusto?

In questo caso si vede che essendo l'estensione, contenente tutte le radici, campo di spezzamento del polinomio irriducibile, un estensione di galois, il relativo gruppo ha ordine uguale alla dimensione, infatti il gruppo di galois risulta essere $S_3$, questo fatto risulta essere generale, ma non mi sembra per niente intuitivo, potresti darmi qualche ragguaglio?
Ti giuro è tipo la terza volta che fai esattamente la stessa domanda. La risposta non cambia con il tempo, è sempre la stessa... https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=208777
Si, scusa hai ragione!
Quello che non riesco a capire , mi risulta poco intuitiva, è la seguente proposizione valida in generale:
Sia $p(x)$ polinomio irriducibile in $Q$di grado $n$, ed ${x_1,,x_2,...,x_n}$ le sue distinte soluzioni, allora $[Q(x_1,x_2,..,x_n):Q]=|Gal(p(x)) |$
Quello che non riesco a capire , mi risulta poco intuitiva, è la seguente proposizione valida in generale:
Sia $p(x)$ polinomio irriducibile in $Q$di grado $n$, ed ${x_1,,x_2,...,x_n}$ le sue distinte soluzioni, allora $[Q(x_1,x_2,..,x_n):Q]=|Gal(p(x)) |$
Conosci la definizione di gruppo di Galois di un polinomio?