Estensione di campi "quadrata"
Salve a tutti,
ho per le mani questo esercizio:
Diciamo che un'estensione $L:K$ di campi è "quadrata" se $\exists x \in L\setminus K$ tale che $L=K[x]$, e tale che $a=x^2 \in K$. Dimostrare:
a) Se $char(K)\ne 2$ e $[L]=2$, allora $L:K$ è "quadrata".
b) Dimostrare che l'anello $L={\mathbb{Z}_2[X]}/((X^2+X+1))$ è un campo, che $L:\mathbb{Z}_2$ non è "quadrata" ma che $[L:\mathbb{Z}_2]=2$.
Il mio dubbio è arrivato nel secondo punto, quando per dimostrare che l'estensione non è quadrata, volevo sfruttare il fatto che $char(\mathbb{Z_2})=2$. Tuttavia mi sono accorta di non aver usato quell'ipotesi nella dimostrazione del primo punto.
La mia soluzione era questa:
$[L]=dim_K (L)=2$, allora considero una base $B={\alpha,\beta}$ di L come K-spazio vettoriale:
se $\alpha, \beta$ fossero entrambi in K, avrei che $L=K$, cioè sarebbe contraddetta l'ipotesi $[L]=2$, ma se al contrario fossero entrambi $\in L\setminus K$ non potremmo scrivere gli elementi di K in base B (assurdo perchè $K\subset L$).
Abbiamo dunque che esattamente uno tra $\alpha$ e $\beta$ appartiene a K, e supponiamo che sia $\alpha$.
Vogliamo provare che $K[\alpha]=L$ e che $\alpha^2 \in K$:
L'inclusione $K[\alpha]\subseteq L$ è ovvia per definizione di $K[\alpha]$, pertanto consideriamo $l\inL$, e lo scriviamo in base B come $l=k_1\alpha+k_2\beta$.
Sappiamo anche che $K[\alpha]$ è generato da ${k,\alpha}$, con $k\ne 0$, per cui riscrivendo $\beta=k(k^{-1}\beta)$ (posso farlo perchè $k\ne 0$ quindi è invertibile) si ha $l=k_1\alpha+k_2(k^{-1}\beta)k \in K[\alpha]$.
Abbiamo dunque provato che $K[\alpha]=L$, quindi anche che $[K[\alpha]:K]=2=deg (p)$, dove $p$ è il polinomio minimo di $\alpha$: $p(x)=x^2+ax+b$.
Allora abbiamo $\alpha^2+a\alpha=-b \inK$, ma $\alpha$ non appartiene a $K$, quindi nemmeno $a\alpha$, pertanto necessariamente abbiamo $\alpha^2\in K$, altrimenti $\alpha^2+a\alpha$ non starebbe in $K$.
C'è qualcosa che non va in questa dimostrazione, o ho usato l'ipotesi $char(K)\ne 2$ senza accorgermene?
ho per le mani questo esercizio:
Diciamo che un'estensione $L:K$ di campi è "quadrata" se $\exists x \in L\setminus K$ tale che $L=K[x]$, e tale che $a=x^2 \in K$. Dimostrare:
a) Se $char(K)\ne 2$ e $[L]=2$, allora $L:K$ è "quadrata".
b) Dimostrare che l'anello $L={\mathbb{Z}_2[X]}/((X^2+X+1))$ è un campo, che $L:\mathbb{Z}_2$ non è "quadrata" ma che $[L:\mathbb{Z}_2]=2$.
Il mio dubbio è arrivato nel secondo punto, quando per dimostrare che l'estensione non è quadrata, volevo sfruttare il fatto che $char(\mathbb{Z_2})=2$. Tuttavia mi sono accorta di non aver usato quell'ipotesi nella dimostrazione del primo punto.
La mia soluzione era questa:
$[L]=dim_K (L)=2$, allora considero una base $B={\alpha,\beta}$ di L come K-spazio vettoriale:
se $\alpha, \beta$ fossero entrambi in K, avrei che $L=K$, cioè sarebbe contraddetta l'ipotesi $[L]=2$, ma se al contrario fossero entrambi $\in L\setminus K$ non potremmo scrivere gli elementi di K in base B (assurdo perchè $K\subset L$).
Abbiamo dunque che esattamente uno tra $\alpha$ e $\beta$ appartiene a K, e supponiamo che sia $\alpha$.
Vogliamo provare che $K[\alpha]=L$ e che $\alpha^2 \in K$:
L'inclusione $K[\alpha]\subseteq L$ è ovvia per definizione di $K[\alpha]$, pertanto consideriamo $l\inL$, e lo scriviamo in base B come $l=k_1\alpha+k_2\beta$.
Sappiamo anche che $K[\alpha]$ è generato da ${k,\alpha}$, con $k\ne 0$, per cui riscrivendo $\beta=k(k^{-1}\beta)$ (posso farlo perchè $k\ne 0$ quindi è invertibile) si ha $l=k_1\alpha+k_2(k^{-1}\beta)k \in K[\alpha]$.
Abbiamo dunque provato che $K[\alpha]=L$, quindi anche che $[K[\alpha]:K]=2=deg (p)$, dove $p$ è il polinomio minimo di $\alpha$: $p(x)=x^2+ax+b$.
Allora abbiamo $\alpha^2+a\alpha=-b \inK$, ma $\alpha$ non appartiene a $K$, quindi nemmeno $a\alpha$, pertanto necessariamente abbiamo $\alpha^2\in K$, altrimenti $\alpha^2+a\alpha$ non starebbe in $K$.
C'è qualcosa che non va in questa dimostrazione, o ho usato l'ipotesi $char(K)\ne 2$ senza accorgermene?
Risposte
Ecco il succo della faccenda:
Prova a fare un altro tentativo. Osserva che tutto il preambolo che hai fatto non è necessario: puoi scegliere $beta=1$, $alpha$ uno zero di $x^2+x+1$ da cui $a=b=1$ e andare avanti da qui.
"morenaria":Al contrario, se $\alpha^2 in K$ allora anche $\alpha in K$ (se $a ne 0$), assurdo. Questo dimostra che $\alpha^2$ non appartiene a $K$ se $a ne 0$.
$K[\alpha]=L$, quindi anche che $[K[\alpha]:K]=2=deg (p)$, dove $p$ è il polinomio minimo di $\alpha$: $p(x)=x^2+ax+b$.
Allora abbiamo $\alpha^2+a\alpha=-b \inK$, ma $\alpha$ non appartiene a $K$, quindi nemmeno $a\alpha$, pertanto necessariamente abbiamo $\alpha^2\in K$, altrimenti $\alpha^2+a\alpha$ non starebbe in $K$.
Prova a fare un altro tentativo. Osserva che tutto il preambolo che hai fatto non è necessario: puoi scegliere $beta=1$, $alpha$ uno zero di $x^2+x+1$ da cui $a=b=1$ e andare avanti da qui.
Quale preambolo non è necessario? Scusami ma non ho capito molto bene come procedere...perchè puoi fissare $a=b=1$? Non posso risolvere dimostrando che $\alpha^2+a\alpha \in K \Leftrightarrow a=0$?
Ma è falso che $alpha^2+a\alpha in K$ se e solo se $a=0$. Un controesempio è proprio dato dal punto (b).
Al contrario, se $alpha^2+a alpha in K$ e $a ne 0$ allora $alpha^2$ non appartiene a $K$.
Al contrario, se $alpha^2+a alpha in K$ e $a ne 0$ allora $alpha^2$ non appartiene a $K$.
Oddio mi sto perdendo...allora:
se procedo per assurdo ammettendo che $a \ne 0$ trovo solo contraddizioni, infatti:
- se $\alpha^2 \in K$, allora ho che $a\alpha=-b-\alpha^2 \in K$, che è assurdo perchè essendo $a$ invertibile ho che anche $\alpha \in K$;
- se $\alpha^2$ non appartiene a $K$, allora sapendo che anche $a\alpha$ non ci appartiene (procedendo come prima), ho che $-b$ non sta in $K$.
Dunque $a=0$, e quindi $\alpha^2\inK$.
No?
se procedo per assurdo ammettendo che $a \ne 0$ trovo solo contraddizioni, infatti:
- se $\alpha^2 \in K$, allora ho che $a\alpha=-b-\alpha^2 \in K$, che è assurdo perchè essendo $a$ invertibile ho che anche $\alpha \in K$;
- se $\alpha^2$ non appartiene a $K$, allora sapendo che anche $a\alpha$ non ci appartiene (procedendo come prima), ho che $-b$ non sta in $K$.
Dunque $a=0$, e quindi $\alpha^2\inK$.
No?
Stai assumendo senza motivo che se due elementi A e B non stanno in K allora neanche A+B sta in K.
Può succedere che A,B non stanno in K ma A+B ci sta. Per esempio (banale) puoi prendere $B=-A$.
Allo stesso modo il fatto che $alpha^2$ e $a alpha$ non stanno in K non implica che $alpha^2+a alpha$ non stia in K.
Può succedere che A,B non stanno in K ma A+B ci sta. Per esempio (banale) puoi prendere $B=-A$.
Allo stesso modo il fatto che $alpha^2$ e $a alpha$ non stanno in K non implica che $alpha^2+a alpha$ non stia in K.
Cavolo hai ragione...allora come procedo?
Per il punto (a) l'idea è che nella formula di risoluzione di un'equazione polinomiale di secondo grado c'è un 2 a denominatore. D'altra parte aggiungere una radice $frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ equivale ad aggiungere $sqrt{b^2-4ac}$ se $2 ne 0$.
Per il punto (b) si tratta di prendere un elemento $gamma$ di $K[alpha]$, con $alpha$ zero di $x^2+x+1$, e mostrare che non si può avere $gamma^2 in K$ a meno che $gamma in K$.
Prova
Per il punto (b) si tratta di prendere un elemento $gamma$ di $K[alpha]$, con $alpha$ zero di $x^2+x+1$, e mostrare che non si può avere $gamma^2 in K$ a meno che $gamma in K$.
Prova
Ok per il punto (b), ma continuo a non capire come concludere (a), e perdonami per questo!
Il mio scopo è dimostrare che $\alpha^2\inK$, come posso usare la formula risolutiva? A poi aggiungere a cosa?
Il mio scopo è dimostrare che $\alpha^2\inK$, come posso usare la formula risolutiva? A poi aggiungere a cosa?
Il tuo scopo NON è dimostrare che $alpha^2 in K$ (questo in generale è falso). Il tuo scopo è mostrare che $K[alpha] = K[gamma]$ con un opportuno $gamma$ tale che $gamma^2 in K$.
$-b = alpha^2+a alpha = alpha^2+a alpha+(a/2)^2-(a/2)^2 = (alpha+a/2)^2-(a/2)^2$
Naturalmente questo lo puoi fare solo se $2 ne 0$. Scegli adesso $gamma = alpha+a/2$. Riesci a continuare?
"morenaria":Fin qua ci siamo. Adesso l'idea è scrivere
Allora abbiamo $\alpha^2+a\alpha=-b \inK$.
$-b = alpha^2+a alpha = alpha^2+a alpha+(a/2)^2-(a/2)^2 = (alpha+a/2)^2-(a/2)^2$
Naturalmente questo lo puoi fare solo se $2 ne 0$. Scegli adesso $gamma = alpha+a/2$. Riesci a continuare?
Beh sì, da qui si conclude facilmente che $\gamma^2 \in K$, mentre er dimostrare $K[\alpha]=K[\gamma]$ basta verificare le due inclusioni, e viene da sè.
Scusami, mi ero persa un passaggio...mi ero fissata sul cercare di dimostrarlo con $\alpha$.
Grazie mille per la pazienza!
Scusami, mi ero persa un passaggio...mi ero fissata sul cercare di dimostrarlo con $\alpha$.
Grazie mille per la pazienza!
Prego ciao alla prossima!
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