Estensione di campi
Ciao, ho la seguente affermazione:
se $B=A[x]$, dove $A$ è un campo e $x$ è trascendente su $A$, allora $B$ è un campo solo quando $A$ è finito.
Devo dire se è vero o falso e motivare la mia risposta.
Secondo me è falso però non so da dove cominciare per dimostarlo...
se $B=A[x]$, dove $A$ è un campo e $x$ è trascendente su $A$, allora $B$ è un campo solo quando $A$ è finito.
Devo dire se è vero o falso e motivare la mia risposta.
Secondo me è falso però non so da dove cominciare per dimostarlo...
Risposte
Direi che è falso: prendi \(\mathbb{Z}_2 [x]\) dove \(\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) e \(x\) è un'indeterminata.
Ma con \(A[x]\) indichi l'estensione del campo \(A\) mediante l'elemento trascendente \(x\)?
Normalmente ho sempre trovato il simbolo \(A(x)\); comunque sia, estendendo un campo mediante un elemento (algebrico o trascendente che sia) quello che ottieni è pur sempre un campo, per l'esattezza \(B\) è il campo quoziente o campo delle frazioni \(\mathrm{Q}(A[x])\) dell'anello \(A[x]\) dei polinomi a coefficienti in \(A\) nella indeterminata \(x\)!
Normalmente ho sempre trovato il simbolo \(A(x)\); comunque sia, estendendo un campo mediante un elemento (algebrico o trascendente che sia) quello che ottieni è pur sempre un campo, per l'esattezza \(B\) è il campo quoziente o campo delle frazioni \(\mathrm{Q}(A[x])\) dell'anello \(A[x]\) dei polinomi a coefficienti in \(A\) nella indeterminata \(x\)!
A dire il vero io conosco due simbologie differenti.
\(A[x]\) è l'estensione semplice di \(A\) tramite l'elemento \(x\). In generale, data un'estensione di anelli \(B\leq A\) e \(b\in B\), l'estensione \(A\) è il più piccolo sottoanello di \(B\) che contenga \(b\) ed \(A\).
Invece con \(A(x)\) si indica il più piccolo campo che contenga \(A\) e \(x\); se \(A\) è un dominio, allora effettivamente è come tu dici proprio il campo delle frazioni \(\rm{Frac}\,A[x]\), con \(A[x]\) anello dei polinomi a coefficienti in \(A\) sull'indeterminata \(x\).
Il motivo della notazione indistinguibile è semplicissimo: in effetti, l'estensione semplice \(A\) si descrive esplicitamente come il seguente insieme:
\[ A = \{ \sum_{i=0}^{n} a_i b^i\,|\, a_i \in A , n\in\mathbb{N}\} = \mathrm{im}\,\nu_b\]
essendo \(\nu_b : A[x]\longrightarrow B\) il morfismo canonico di valutazione.
\(A[x]\) è l'estensione semplice di \(A\) tramite l'elemento \(x\). In generale, data un'estensione di anelli \(B\leq A\) e \(b\in B\), l'estensione \(A\) è il più piccolo sottoanello di \(B\) che contenga \(b\) ed \(A\).
Invece con \(A(x)\) si indica il più piccolo campo che contenga \(A\) e \(x\); se \(A\) è un dominio, allora effettivamente è come tu dici proprio il campo delle frazioni \(\rm{Frac}\,A[x]\), con \(A[x]\) anello dei polinomi a coefficienti in \(A\) sull'indeterminata \(x\).
Il motivo della notazione indistinguibile è semplicissimo: in effetti, l'estensione semplice \(A\) si descrive esplicitamente come il seguente insieme:
\[ A = \{ \sum_{i=0}^{n} a_i b^i\,|\, a_i \in A , n\in\mathbb{N}\} = \mathrm{im}\,\nu_b\]
essendo \(\nu_b : A[x]\longrightarrow B\) il morfismo canonico di valutazione.
Yes, quoto Richard_Dedekind. E ne approfitto per dire che questo dimostra che [tex]A \to A[X][/tex] è universale...
"maurer":
Yes, quoto Richard_Dedekind. E ne approfitto per dire che questo dimostra che [tex]A \to A[X][/tex] è universale...
Vero, in effetti l'esistenza del morfismo di valutazione è predicata da una proprietà universale.
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