Estensione del campo Q

[bestiedda2]

Buonasera a tutti.

Sto studiando teoria delle estensioni di campi, e nel libro che sto seguendo (Pinter, Abstract algebra) viene richiesto di "determinare un'estensione finita di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) tale che \(\displaystyle \pi \) sia algebrico di grado 3 su questo campo."

Mi sembra impossibile: voglio dire, ogni estensione finita di \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è ottenuta per aggiunzione di un numero finito di numeri algebrici su \(\displaystyle \mathbb{Q} \), e quindi è un sottocampo del campo \(\displaystyle \mathbb{A} \) dei numeri algebrici. Dato che sappiamo che questo campo NON contiene \(\displaystyle \pi \) ed è algebricamente chiuso, allora la tesi non può essere vera. In che cosa sbaglio?

[Gi81]

Sono d'accordo con te. E' stata dimostrata la trascendenza di $pi$,
quindi non può esistere un polinomio a coefficienti in $QQ$ che abbia $pi$ come radice.