Estensione
Sia $x^3 +px+q$ il polinomio monico generico di terzo grado irriducibile in $Q$, sia $E$ il suo campo di spezzamento, supponiamo che sia $|E:F|$ $=6$, grado dell'estensione, come faccio a dimostrare che il suo gruppo di Galois è $S_3$?
Risposte
La parola "generico" in questa domanda è fuori posto, perchè a rigor di definizione vorrebbe dire che qua $p,q$ sono variabili indipendenti su $\mathbb Q$. Tu invece intendi che $p,q\in \mathbb Q$ e $f=x^3+px+q$, immagino. Se il campo di spezzamento di $f$ ha grado 6, allora il suo gruppo di Galois è $C_6$ o $S_3$, perchè non esistono altri gruppi di ordine 6. Se fosse $C_6$ allora ogni sottoestensione di \(E/\mathbb{Q}\) sarebbe di Galois, perchè in un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale. Ma questo è impossibile, perchè per ipotesi l'estensione \(\mathbb Q(\alpha)/\mathbb Q\) non è di Galois (qua $\alpha$ è una radice di $f$). Quindi necessariamente il gruppo di Galois è $S_3$.
Grazie per la risposta!
Si hai ragione "generico" è fuori posto;
Perché se l`estensione ha grado $6$ allora l'ordine del gruppo di Galois è $|G|=6$?
Se l'estensione aveva grado $3 $ il gruppo di galois era di ordine $3 $?
Vale anche più in generale se ll grado dell'estensione è $n$ allora il gruppo di Galois è di ordine $n$?
Si hai ragione "generico" è fuori posto;
Perché se l`estensione ha grado $6$ allora l'ordine del gruppo di Galois è $|G|=6$?
Se l'estensione aveva grado $3 $ il gruppo di galois era di ordine $3 $?
Vale anche più in generale se ll grado dell'estensione è $n$ allora il gruppo di Galois è di ordine $n$?
"francicko":
Perché se l`estensione ha grado $6$ allora l'ordine del gruppo di Galois è $|G|=6$?
Perchè i campi di spezzamento in caratteristica 0 sono estensioni normali.
Esiste per caso un teorema che afferma:
Se $F$ è un campo ed $f(x) $ un polinomio in $F(x)$, se $E$ é il campo di spezzamento, allora si ha:
$|Gal(E//F)|=|E:F|$?
Ad esempio in un polinomio di grado $3 $ che ha come gruppo di Galois $A_3~~C_3$, se $alpha$ è una soluzione una base di$E//Q$ sarà $1,alpha, alpha^2 $ in quanto il campo di spezzamento ha grado $3$ giusto?
Un polinomio di terzo grado in cui
il suo gruppo di Galois è somorfo ad $S_3$ allora $E//Q$ dovrà avere una base la cui cardinalita è $6$, un polinomio di quarto grado che ha come gruppo di Galois il sottogruppo alterno $A_4$(è unico?) di ordine $12$ allora $E//Q$ dovra avere una base di cardinalita $12$ giusto?
Se $F$ è un campo ed $f(x) $ un polinomio in $F(x)$, se $E$ é il campo di spezzamento, allora si ha:
$|Gal(E//F)|=|E:F|$?
Ad esempio in un polinomio di grado $3 $ che ha come gruppo di Galois $A_3~~C_3$, se $alpha$ è una soluzione una base di$E//Q$ sarà $1,alpha, alpha^2 $ in quanto il campo di spezzamento ha grado $3$ giusto?
Un polinomio di terzo grado in cui
il suo gruppo di Galois è somorfo ad $S_3$ allora $E//Q$ dovrà avere una base la cui cardinalita è $6$, un polinomio di quarto grado che ha come gruppo di Galois il sottogruppo alterno $A_4$(è unico?) di ordine $12$ allora $E//Q$ dovra avere una base di cardinalita $12$ giusto?
"francicko":
Esiste per caso un teorema che afferma:
Se $F$ è un campo ed $f(x) $ un polinomio in $F(x)$, se $E$ é il campo di spezzamento, allora si ha:
$|Gal(E//F)|=|E:F|$?
Se $f$ è separabile sì perchè i campi di spezzamento sono estensioni normali, come ti ho già detto nel post precedente.
Toglimi una curiosità: ma dove stai studiando queste cose? Perchè qualsiasi testo che parla di teoria di Galois prima di tutto introduce i concetti di estensioni separabili e normali e di campo di spezzamento...
Purtroppo al momento non ho testi disponibili da consultare, mi arrangio su internet, se avessi delle dispense ben fatte,dove tutti questi concetti vengano presentati in maniera ordinata e sopratutto conseguenziale, con magari qualche esempio a seguito, mi agevolerebbe la comprensione, affidandomi al fai da me,sto verificando ahimè, che procedo lentamente, con molta difficoltà e creo a volte confusione. Se hai delle dispense a riguardo,magari consultabili in rete che ritieni ben fatte,o qualche testo specifico da propormi,sarei grato.
Grazie sempre e comunque per le risposte precise ed esaudienti!
Grazie sempre e comunque per le risposte precise ed esaudienti!
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