Esistono i determinanti dei tensori?
Salve,scusate a qualcuno dispiacerebbe togliermi il seguente dubbio?
io vorrei sapere se esiste il "determinante" di un tensore di ordine n>2,e se sì come calcolarlo
io vorrei sapere se esiste il "determinante" di un tensore di ordine n>2,e se sì come calcolarlo
Risposte
Conosco una generalizzazione che si puo' dare per ogni tensore di ordine pari. Si chiama determinante di Pascal e la sua definizione richiede un pochina di teoria delle rappresentazioni.
Provo a spiegare come funziona nel seguito, ma il tutto potrebbe non essere molto preciso.
Prima di tutto vediamo meglio cosa e' il determinante.
Fissiamo un campo (facciamo i numeri complessi, ma non dovrebbe cambiare granche'). Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $f$ un'applicazione lineare $f : V \to V$.
Ogni applicazione lineare $f : V \to V$ induce in modo naturale un'altra applicazione lineare $f^\wedge : \Lambda^n V \to \Lambda^n V$. Ora, $\Lambda^n V$ e' uno spazio vettoriale di dimensione $1$ e quindi $f^\vee$ e' semplicemente il prodotto per uno scalare. Diciamo che questo scalare e' il determinante di $f$, e lo indichiamo con $\det(f)$. Chiamiamo $SL(V)$ l'insieme delle funzioni lineari $f : V\to V$ tali che $\det(f) = 1$. E' facile osservare che $SL(V)$ e' un gruppo con l'operazione di composizione di funzioni.
Ora che abbiamo questa interpretazione del determinante di una funzione $f :V \to V$, vediamo cosa succede quando prendiamo due spazi vettoriali diversi.
Siano $V ,W$ spazi vettoriali della stessa dimensione $n$ e sia $g : V \to W$, cioe' un elemento di \(Hom (V,W) = V^* \otimes W\). Se fissiamo basi di $V$ e $W$, possiamo rappresentare $f$ come una matrice e calcolarne il determinante. Questo determinante e' una funzione che manda $g$ in un numero $\det(g)$ e questa assegnazione e' polinomiale (se vogliamo, una volta fissate le basi, il determinante e' un polinomio nelle entrate della matrice che rappresenta la funzione lineare). Dunque $\det$ e' un polinomio omogeneo di grado $n$ su \( V^* \otimes W\). Se $E$ e' uno spazio vettoriale indichiamo con \(S^d E^*\) lo spazio dei polinomio omogenei di grado $d$ su $E$ (in effetti, per $d = 1$, questo spazio e' proprio il duale di $E$, cioe' \(E^*\)). Quindi \(\det \in S^n ( (V^* \otimes W) )^* = S^n (V \otimes W^*) \).
Il gruppo dei cambi di base in $V$ e $W$ agisce naturalmente su \( V ^* \otimes W \) e percio' su $S^n (V \otimes W^*)$. Vediamo che se il determinante delle due matrici di cambio di base e' $1$, allora il determinante della matrice che rappresenta $f$ nelle nuove basi e' uguale al determinate di $f$ nelle vecchie basi. In questo caso diciamo che $\det$ e' un polinomio $SL(V) \times SL(W)$ - invariante in \(S^n (V \otimes W^*)\).
Si puo' dimostrare che \(S^n ( (V \otimes W^*)\) contiene un solo polinomio $SL(V) \times SL(W)$ invariante (a meno di scalari). Abbiamo dunque una nuova definizione di determinante. Il determinante e' l'unico elemento $SL(V) \times SL(W)$-invariante in \(S^n ( (V \otimes W^*)\), dove $n = \dim V = \dim W$. La retta che questo invariante genera si identifica naturalmente con \(\Lambda^n V \otimes \Lambda W^* \) (nota che in effetti, nella nostra prima definizione di determinante, la mappa lineare $\Lambda^n V \to \Lambda^n V$ e' proprio un elemento di \( \Lambda^n V \otimes \Lambda^n V^*\)).
Se ora prendiamo un numero pari di spazi vettoriali, diciamo $V_1 , ... , V_k$, tutti della stessa dimensione $n$, allora si puo' dimostrare che \(S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) contiene un solo invariante sotto l'azione di $SL(V_1) \times ... \times SL(V_k)$ e che questo invariante genera la retta \( \Lambda^n V_1^* \otimes ... \otimes \Lambda^n V_k^*\).
Percio' ad ogni tensore di $V_1 \otimes ... \otimes V_k$ possiamo associare un numero, che chiamiamo $k$-esimo determinante di Pascal, e che e' il valore che un fissato elemento della retta \( \Lambda^n V_1^* \otimes ... \otimes \Lambda^n V_k ^* \subseteq S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) assume su quel tensore.
Se $k$ e' dispari, allora \( S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) non contiene $SL(V_1) \times ... \times SL(V_k)$-invarianti
Provo a spiegare come funziona nel seguito, ma il tutto potrebbe non essere molto preciso.
Prima di tutto vediamo meglio cosa e' il determinante.
Fissiamo un campo (facciamo i numeri complessi, ma non dovrebbe cambiare granche'). Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $f$ un'applicazione lineare $f : V \to V$.
Ogni applicazione lineare $f : V \to V$ induce in modo naturale un'altra applicazione lineare $f^\wedge : \Lambda^n V \to \Lambda^n V$. Ora, $\Lambda^n V$ e' uno spazio vettoriale di dimensione $1$ e quindi $f^\vee$ e' semplicemente il prodotto per uno scalare. Diciamo che questo scalare e' il determinante di $f$, e lo indichiamo con $\det(f)$. Chiamiamo $SL(V)$ l'insieme delle funzioni lineari $f : V\to V$ tali che $\det(f) = 1$. E' facile osservare che $SL(V)$ e' un gruppo con l'operazione di composizione di funzioni.
Ora che abbiamo questa interpretazione del determinante di una funzione $f :V \to V$, vediamo cosa succede quando prendiamo due spazi vettoriali diversi.
Siano $V ,W$ spazi vettoriali della stessa dimensione $n$ e sia $g : V \to W$, cioe' un elemento di \(Hom (V,W) = V^* \otimes W\). Se fissiamo basi di $V$ e $W$, possiamo rappresentare $f$ come una matrice e calcolarne il determinante. Questo determinante e' una funzione che manda $g$ in un numero $\det(g)$ e questa assegnazione e' polinomiale (se vogliamo, una volta fissate le basi, il determinante e' un polinomio nelle entrate della matrice che rappresenta la funzione lineare). Dunque $\det$ e' un polinomio omogeneo di grado $n$ su \( V^* \otimes W\). Se $E$ e' uno spazio vettoriale indichiamo con \(S^d E^*\) lo spazio dei polinomio omogenei di grado $d$ su $E$ (in effetti, per $d = 1$, questo spazio e' proprio il duale di $E$, cioe' \(E^*\)). Quindi \(\det \in S^n ( (V^* \otimes W) )^* = S^n (V \otimes W^*) \).
Il gruppo dei cambi di base in $V$ e $W$ agisce naturalmente su \( V ^* \otimes W \) e percio' su $S^n (V \otimes W^*)$. Vediamo che se il determinante delle due matrici di cambio di base e' $1$, allora il determinante della matrice che rappresenta $f$ nelle nuove basi e' uguale al determinate di $f$ nelle vecchie basi. In questo caso diciamo che $\det$ e' un polinomio $SL(V) \times SL(W)$ - invariante in \(S^n (V \otimes W^*)\).
Si puo' dimostrare che \(S^n ( (V \otimes W^*)\) contiene un solo polinomio $SL(V) \times SL(W)$ invariante (a meno di scalari). Abbiamo dunque una nuova definizione di determinante. Il determinante e' l'unico elemento $SL(V) \times SL(W)$-invariante in \(S^n ( (V \otimes W^*)\), dove $n = \dim V = \dim W$. La retta che questo invariante genera si identifica naturalmente con \(\Lambda^n V \otimes \Lambda W^* \) (nota che in effetti, nella nostra prima definizione di determinante, la mappa lineare $\Lambda^n V \to \Lambda^n V$ e' proprio un elemento di \( \Lambda^n V \otimes \Lambda^n V^*\)).
Se ora prendiamo un numero pari di spazi vettoriali, diciamo $V_1 , ... , V_k$, tutti della stessa dimensione $n$, allora si puo' dimostrare che \(S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) contiene un solo invariante sotto l'azione di $SL(V_1) \times ... \times SL(V_k)$ e che questo invariante genera la retta \( \Lambda^n V_1^* \otimes ... \otimes \Lambda^n V_k^*\).
Percio' ad ogni tensore di $V_1 \otimes ... \otimes V_k$ possiamo associare un numero, che chiamiamo $k$-esimo determinante di Pascal, e che e' il valore che un fissato elemento della retta \( \Lambda^n V_1^* \otimes ... \otimes \Lambda^n V_k ^* \subseteq S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) assume su quel tensore.
Se $k$ e' dispari, allora \( S^n (V_1^* \otimes ... \otimes V_k^*)\) non contiene $SL(V_1) \times ... \times SL(V_k)$-invarianti
Grazie per la tua risposta,
ti dispiacerebbe farmi un esempio numerico?
ti dispiacerebbe farmi un esempio numerico?
Dopo un po di ricerche ho trovato gli ipedeterminanti(hyperdeterminant) tuttavia non ho trovato esempi numerici,
a qualcuno dispiacerrebe aiutarmi?
a qualcuno dispiacerrebe aiutarmi?
Penso che prima di tutto dovresti chiarire che cosa esattamente stai cercando. Insomma cosa è per te un determinante? Non voglio la formuletta, desidero sapere quali sono le proprietà che ti aspetti valgano per l'oggetto che stai cercando.
non ho capito la domanda ti dispiacerebbe spiegarti meglio
Cosa e' per te il determinante?
Il determinante ha molte interpretazioni algebriche e geometriche:
- il determinante e' un polinomio sullo spazio delle matrici, ed e' nullo se e solo se la matrice e' singolare.
- il determinante e' l'unico polinomio invariante sotto l'azioe di un certo gruppo
- il determinante e' l'equazione che definisce l'ipersuperficie duale alla varieta' delle matrici di rango 1
- il determinante e' un polinomio completo per una certa classe di complessita'.
Insomma...il determinante e' un oggetto che e' stato studiato per un sacco di tempo e ha un sacco di applicazioni/interpretazioni.
Tu cerchi una generalizzazione ai tensori di ordine piu' alto di due, ma dovresti un po' spiegare che tipo di generalizzazione cerchi.
Nel mio post precedente ti ho dato una generalizzazione in termini di invariante sotto l'azione di un gruppo: il determinante di Pascal e' un elemento di uno spazio di polinomi su un certo spazio di tensori, in modo simile a come il determinante e' un polinomio su uno spazio di matrici. In termini di complessita', si puo' dimostrare che i determinanti di Pascal giocano in una classe di complessita' molto piu' ampia, un ruolo simile a quello che il determinante gioca nella sua classe di complessita'.
Gli iperdeterminanti sono una generalizzazione nel senso che definiscono (in certi casi) la varieta' duale alla varieta' dei tensori di rango $1$. GKZ "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" spiega molto bene questo aspetto, anche se serve un bel po' di background per andare oltre il primo capitolo.
Il determinante ha molte interpretazioni algebriche e geometriche:
- il determinante e' un polinomio sullo spazio delle matrici, ed e' nullo se e solo se la matrice e' singolare.
- il determinante e' l'unico polinomio invariante sotto l'azioe di un certo gruppo
- il determinante e' l'equazione che definisce l'ipersuperficie duale alla varieta' delle matrici di rango 1
- il determinante e' un polinomio completo per una certa classe di complessita'.
Insomma...il determinante e' un oggetto che e' stato studiato per un sacco di tempo e ha un sacco di applicazioni/interpretazioni.
Tu cerchi una generalizzazione ai tensori di ordine piu' alto di due, ma dovresti un po' spiegare che tipo di generalizzazione cerchi.
Nel mio post precedente ti ho dato una generalizzazione in termini di invariante sotto l'azione di un gruppo: il determinante di Pascal e' un elemento di uno spazio di polinomi su un certo spazio di tensori, in modo simile a come il determinante e' un polinomio su uno spazio di matrici. In termini di complessita', si puo' dimostrare che i determinanti di Pascal giocano in una classe di complessita' molto piu' ampia, un ruolo simile a quello che il determinante gioca nella sua classe di complessita'.
Gli iperdeterminanti sono una generalizzazione nel senso che definiscono (in certi casi) la varieta' duale alla varieta' dei tensori di rango $1$. GKZ "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" spiega molto bene questo aspetto, anche se serve un bel po' di background per andare oltre il primo capitolo.
Grazie della risposta,
Proverò a spiegarmi meglio, come saprai per calcolare il determinante di un tensore 2x2x2 si puo trovare con il polinomio di quarto grado di Cayley, ora io volevo vedere come estendere questo concetto a tensori lxnxm.... per esempio un tensore 4x4x4x4.
Proverò a spiegarmi meglio, come saprai per calcolare il determinante di un tensore 2x2x2 si puo trovare con il polinomio di quarto grado di Cayley, ora io volevo vedere come estendere questo concetto a tensori lxnxm.... per esempio un tensore 4x4x4x4.
In questo caso stai cercando espressioni esplicite degli iperdeterminanti che diventano presto molto grosse, difficili e orribili.
Come ti ho scritto nel post precedente, il libro "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" di Gelfand, Kapranov, Zelevinsky ha un sacco di materiale su queste cose e il capitolo 14 (l'ultimo xD) e' interamente dedicato proprio agli iperdeterminanti che sembra ti interessino. E' un libro difficile, ma e' scritto molto bene e puoi provare a vedere se riesci a capirci qualcosa.
C'e' anche un articolo degli stessi autori che puoi trovare a questo link ma dal momento che il libro e' successivo mi sa che tutto quello che c'e' su quell'articolo e' anche nel libro.
Una fonte che richiede un po' meno background e' questo articolo, ma comunque servono diverse conoscenze di algebra multilineare e un po' di geometria algebrica.
Come ti ho scritto nel post precedente, il libro "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" di Gelfand, Kapranov, Zelevinsky ha un sacco di materiale su queste cose e il capitolo 14 (l'ultimo xD) e' interamente dedicato proprio agli iperdeterminanti che sembra ti interessino. E' un libro difficile, ma e' scritto molto bene e puoi provare a vedere se riesci a capirci qualcosa.
C'e' anche un articolo degli stessi autori che puoi trovare a questo link ma dal momento che il libro e' successivo mi sa che tutto quello che c'e' su quell'articolo e' anche nel libro.
Una fonte che richiede un po' meno background e' questo articolo, ma comunque servono diverse conoscenze di algebra multilineare e un po' di geometria algebrica.
Grazie,
dopo aver letto http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 089290056Q c'è una cosa che non mi è chiara cioè questo simbolo:
$ partial _A $
dopo aver letto http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 089290056Q c'è una cosa che non mi è chiara cioè questo simbolo:
$ partial _A $
In questo contesto credo che sia usato per indicare un operatore differenziale. Ad esempio, se si sta usando un anello di polinomio tipo $\mathbb{C}[x_1,...,x_n]$, a volte si indica con $\partial_i$ l'operatore $\frac{\partial}{\partial x_i}$ (inteso come variabile "duale" a $x_i$); spesso se magari $A = \{ i_1 , ... , i_a\}$ e' un insieme di indici si usa $\partial_A = \frac{\partial^a}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_a}}$).
Ma cosi' buttato li' senza spiegazioni potrebbe benissimo indicare qualcos'altro.
Ma cosi' buttato li' senza spiegazioni potrebbe benissimo indicare qualcos'altro.
Nel libro c'è la seguente formula
$ Det(A)=det(partial _A) $
$ Det(A)=det(partial _A) $
Direi che $\partial_A$ e' una qualche mappa lineare associata a un elemento $A$ (tipicamente una contrazione, o un operatore differenziale, come detto prima). E $\det(\partial_A)$ e' il suo determinante tradizionale.
In quel libro si usa un sacco la nozione di "determinante di un complesso" che e' spiegata nelle appendici. E' possibile che $\partial_A$ sia il differenziale di un qualche complesso e con quella notazione indicano il determinante del complesso.
Pero' devi spiegare le cose se vuoi avere una risposta precisa.
In quel libro si usa un sacco la nozione di "determinante di un complesso" che e' spiegata nelle appendici. E' possibile che $\partial_A$ sia il differenziale di un qualche complesso e con quella notazione indicano il determinante del complesso.
Pero' devi spiegare le cose se vuoi avere una risposta precisa.
Ok,allora se io volessi trasformare un tensore in una matrice con determinante uguale cosa doveri fare?
E nel caso non esistesse un metodo potresti allora per favore spiegarmi come funziona la "sign of a permutation" che appare in questa formula
$ Det (M)=1/(n!)sum_(sigma =(sigma_1,..,sigma_k )in S_n^k )sign(sigma)M^sigma $
sapendo che "k" è l'ordine del tenore
e $ S_n^k $ denota il gruppo simmetrico
E nel caso non esistesse un metodo potresti allora per favore spiegarmi come funziona la "sign of a permutation" che appare in questa formula
$ Det (M)=1/(n!)sum_(sigma =(sigma_1,..,sigma_k )in S_n^k )sign(sigma)M^sigma $
sapendo che "k" è l'ordine del tenore
e $ S_n^k $ denota il gruppo simmetrico
Il determinante di un tesore abbiamo detto che non sappiamo cos'e'. Se, dato un tensore con un certo formato $\mathbf{d}$, vuoi trovare una matrice che ha come determinante il valore dell'iperdeterminante di formato $\mathbf{d}$, basta prendere la matrice $1 \times 1$ che ha come unica entrata l'iperdeterminante. Trovare matrici "lineari" e' una cosa difficile, e c'e' un libro intero, grosso e difficile, che usa un sacco di teoria per farlo in alcuni casi facili, che poi tanto facili non sono.
Il segno di una permutazione e' una cosa che si impara in un corso di algebra 1. Nella tua notazione, $S_n^k$ non credo sia proprio proprio il gruppo simmetrico: e se lo e', e' su $n$? su $k$? boh
Il segno di una permutazione e' una cosa che si impara in un corso di algebra 1. Nella tua notazione, $S_n^k$ non credo sia proprio proprio il gruppo simmetrico: e se lo e', e' su $n$? su $k$? boh
Grazie,
nel caso decomponessi un tensore,il determinante del tensore appena trovato sarebbe pari all determinante del tensore originario?
nel caso decomponessi un tensore,il determinante del tensore appena trovato sarebbe pari all determinante del tensore originario?
Che vuol dire "decomporre un tensore"?
ho sbagliato a scrivere intendevo si puo usare la "discrete Fourier transform"
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