Esistenza omomorfismo

[squirrel_anna]

é possibile definire un omorfismo $f: ZZ_5 \to ZZ_12$ ?
Ho pensato di considerare il fatto che 5 non sia multiplo di 12 ma non so bene come usarlo... qualcuno mi può dare un consiglio?

[perplesso1]

Ti va bene l'omomorfismo nullo (quello che manda tutto in 0) ??

[squirrel_anna]

A parte quello nullo ovviamente

[perplesso1]

Ti do un consiglio: Teorema di Omomorfismo fra gruppi!

Metto soluzione in spoiler

Sia $ f $ il nostro morfismo. Per il teorema di omomorfismo $ Z_5/{kerf } $ è isomorfo ad un sottogruppo di $ Z_{12} $. Ci sono solo due possibilità. Se $ ker(f)=Z_5 $ allora f è l'omomorfismo nullo. Se $ ker(f)={0} $ allora il morfismo è iniettivo e $ Z_5/{{0}} = Z_5 $ dovrebbe essere isomorfo ad un sottogruppo di $ Z_12 $. Ma $ Z_12 $ non può avere un sottogruppo di ordine $ 5 $ perchè $ 5 $ non è un divisore di $ 12 $ Quindi l'unico morfismo possibile è quello nullo.

[squirrel_anna]

ok, più o meno ci sono! era difficile grazie mille

[dissonance]

Puoi anche fare un discorso di generatori. \(\mathbb{Z}_5\) è generato da \(1\), che ha periodo \(5\). Un omomorfismo \(f\) è completamente individuato da \(f(1)\), che dovrà avere per periodo un divisore di \(5\), quindi o ha periodo \(1\) oppure ha periodo \(5\). Ma in \(\mathbb{Z}_{12}\) non ci sono elementi di periodo \(5\).

[squirrel_anna]

cosa vuol dire che è completamente individuato da f(1)?

[dissonance]

Vuol dire che una volta specificato cos'è \(f(1)\), l'applicazione \(f\) è completamente definita. Infatti

\[f(0)=0, f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1), f(3)=f(1)+f(1)+f(1), f(4)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1).\]

Che libro di teoria usi? Sul Piacentini Cattaneo questo concetto è spiegato con pazienza nel paragrafo dedicato agli omomorfismi di gruppi.

[squirrel_anna]

Uso l'Artin, che purtroppo di questo argomento fa poco e niente, a saperlo prima avrei comprato questo che dici tu, ma non ho trovato molti consigli su algebra sul web quando dovevo scegliermi il libro...

[dissonance]

Lascia stare. Il libro di Artin è un bellissimo libro di algebra. E poi qui stiamo parlando di un paragrafetto di Piacentini-Cattaneo, la prossima volta che passi dalla biblioteca dai un'occhiata. Prova pure a fare un giro su Internet che una copia in pdf di questo libro si trova di sicuro e senza troppa difficoltà

[squirrel_anna]

accendo subito emule