Esistenza generatore
Vogliamo dimostrare che se [tex]K[/tex] è un campo finito di cardinalità [tex]q[/tex], detto [tex]K^*[/tex] il campo privato dello zero, allora esiste un elemento [tex]\alpha \in K^*[/tex] tale che ogni elemento di [tex]K^*[/tex] si scrive nella forma [tex]\alpha^i[/tex] con [tex]i[/tex] intero.
In sostanza vogliamo dimostrare che ogni campo finito privato dello zero, che costituisce un gruppo moltiplicativo, ammette generatore ciclico.
La dimostrazione fatta a lezione non mi convince.
Nel seguito, con "ordine" di un elemento [tex]a[/tex] intenderò il minimo intero positivo [tex]n[/tex] tale che [tex]a^n = 1[/tex].
Allora ovviamente ogni elemento di [tex]K^*[/tex] ha ordine finito. Indichiamo con [tex]\alpha[/tex] l'elemento di ordine massimo e sia [tex]h[/tex] tale ordine. Sicuramente [tex]h \leq q-1[/tex]. Vogliamo mostrare che risulta proprio [tex]h = q-1[/tex]. Mostriamo preliminarmente che, se per assurdo fosse [tex]h < q-1[/tex], esisterebbe almeno un elemento [tex]\beta \in K^*[/tex] il cui ordine non divide [tex]h[/tex] (questa dimostrazione la salto, in quanto semplice e chiara).
A questo punto non capisco il passaggio successivo. Allora abbiamo l'ordine di [tex]\beta[/tex], chiamiamolo [tex]o(\beta)[/tex], che non divide [tex]h[/tex]. Sugli appunti c'è scritto che, posto [tex](h,o(\beta)) = d[/tex], allora [tex]o(\beta) = db[/tex] con [tex]b > 1[/tex] e allora risulta [tex](h,b)=1[/tex].
Per completare la dimostrazione, si sfrutta il fatto che [tex](h,b)=1[/tex], ma a me questa assunzione sembra falsa.
Qualcuno mi può aiutare a comprenderla o, in alternativa, fornire un valido e semplice prosieguo della dimostrazione a partire da quanto già detto in precedenza?
In sostanza vogliamo dimostrare che ogni campo finito privato dello zero, che costituisce un gruppo moltiplicativo, ammette generatore ciclico.
La dimostrazione fatta a lezione non mi convince.
Nel seguito, con "ordine" di un elemento [tex]a[/tex] intenderò il minimo intero positivo [tex]n[/tex] tale che [tex]a^n = 1[/tex].
Allora ovviamente ogni elemento di [tex]K^*[/tex] ha ordine finito. Indichiamo con [tex]\alpha[/tex] l'elemento di ordine massimo e sia [tex]h[/tex] tale ordine. Sicuramente [tex]h \leq q-1[/tex]. Vogliamo mostrare che risulta proprio [tex]h = q-1[/tex]. Mostriamo preliminarmente che, se per assurdo fosse [tex]h < q-1[/tex], esisterebbe almeno un elemento [tex]\beta \in K^*[/tex] il cui ordine non divide [tex]h[/tex] (questa dimostrazione la salto, in quanto semplice e chiara).
A questo punto non capisco il passaggio successivo. Allora abbiamo l'ordine di [tex]\beta[/tex], chiamiamolo [tex]o(\beta)[/tex], che non divide [tex]h[/tex]. Sugli appunti c'è scritto che, posto [tex](h,o(\beta)) = d[/tex], allora [tex]o(\beta) = db[/tex] con [tex]b > 1[/tex] e allora risulta [tex](h,b)=1[/tex].
Per completare la dimostrazione, si sfrutta il fatto che [tex](h,b)=1[/tex], ma a me questa assunzione sembra falsa.
Qualcuno mi può aiutare a comprenderla o, in alternativa, fornire un valido e semplice prosieguo della dimostrazione a partire da quanto già detto in precedenza?
Risposte
"Kroldar":Infatti in generale è falsa. Però si può rimediare.
Allora abbiamo l'ordine di [tex]\beta[/tex], chiamiamolo [tex]o(\beta)[/tex], che non divide [tex]h[/tex]. Sugli appunti c'è scritto che, posto [tex](h,o(\beta)) = d[/tex], allora [tex]o(\beta) = db[/tex] con [tex]b > 1[/tex] e allora risulta [tex](h,b)=1[/tex].
Per completare la dimostrazione, si sfrutta il fatto che [tex](h,b)=1[/tex], ma a me questa assunzione sembra falsa.
L'idea è sostituire [tex]\beta[/tex] con un'opportuna sua potenza che abbia un ordine che verifichi quella proprietà.
Prendi un intero [tex]p^k[/tex] che è una potenza di un primo [tex]p[/tex] e che divide [tex]t=o(\beta)[/tex] ma non [tex]h[/tex] (esiste perché se ogni potenza di primo che divide [tex]o(\beta)[/tex] dividesse [tex]h[/tex] allora [tex]o(\beta)[/tex] dividerebbe [tex]h[/tex]). L'elemento [tex]\gamma:=\beta^{t/p^k}[/tex] ha ordine [tex]p^k[/tex]. Ora anziché [tex]\beta[/tex] prendi [tex]\gamma[/tex]. Si ha che [tex]p^k[/tex], l'ordine di [tex]\gamma[/tex], non divide [tex]h[/tex] e detto [tex]d=(h,o(\gamma))[/tex] è chiaro che [tex](h,o(\gamma)/d)=1[/tex], perché [tex]o(\gamma)=p^k[/tex] è una potenza di un primo, e quindi [tex]d[/tex] è la massima potenza di [tex]p[/tex] che divide [tex]h[/tex].
Ora puoi continuare la dimostrazione con [tex]\gamma[/tex] anziché con [tex]\beta[/tex].
Modifico: no, è sbagliato, nessuno ci assicura che [tex](h,o(\gamma)/d)=1[/tex].
Grazie 
Però, ripensandoci, i conti non tornano 
Prendiamo [tex]h=60[/tex],[tex]o(\beta)=24[/tex]. Scelgo [tex]p^k=8[/tex], infatti [tex]8[/tex] non divide [tex]60[/tex]. Ma allora [tex]d = (60,8) = 4[/tex] e dunque [tex]b=2[/tex], da cui [tex](h,b)=(60,2)=2[/tex].
Prendiamo [tex]h=60[/tex],[tex]o(\beta)=24[/tex]. Scelgo [tex]p^k=8[/tex], infatti [tex]8[/tex] non divide [tex]60[/tex]. Ma allora [tex]d = (60,8) = 4[/tex] e dunque [tex]b=2[/tex], da cui [tex](h,b)=(60,2)=2[/tex].
Hai ragione, accidenti, mi sono sbagliato.
Il problema è che a priori non si può prendere una potenza di [tex]\beta[/tex] perché nessuna di esse potrebbe andare bene. Se c'è almeno un primo che divide [tex]o(\beta)[/tex] ma non [tex]h[/tex] siamo a posto, altrimenti non c'è modo di aggirare il problema.
Potresti riportare anche il resto della dimostrazione? Inclusa la parte in cui si trova [tex]\beta[/tex] di ordine che non divide [tex]h[/tex]? Così si può capire cosa è importante e cosa no.
Il problema è che a priori non si può prendere una potenza di [tex]\beta[/tex] perché nessuna di esse potrebbe andare bene. Se c'è almeno un primo che divide [tex]o(\beta)[/tex] ma non [tex]h[/tex] siamo a posto, altrimenti non c'è modo di aggirare il problema.
Potresti riportare anche il resto della dimostrazione? Inclusa la parte in cui si trova [tex]\beta[/tex] di ordine che non divide [tex]h[/tex]? Così si può capire cosa è importante e cosa no.
Detto [tex]\alpha[/tex] un elemento di ordine massimo e detto [tex]h[/tex] tale ordine, si vuole mostrare che [tex]h=q-1[/tex].
Se per assurdo fosse [tex]h
Ora definiamo [tex]\gamma=\beta^d[/tex], allora risulta [tex]\gamma^b=\beta^{bd}=1[/tex], da cui segue che [tex]o(\gamma)=b[/tex].
Vogliamo mostrare che l'elemento [tex]\alpha\gamma[/tex] ha ordine [tex]s[/tex] maggiore di [tex]h[/tex], il che è un assurdo e dunque l'aver ipotizzato [tex]h1[/tex] e dunque [tex]s>h[/tex].
Per mostrare che [tex]s=hb[/tex] mostreremo che [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex] e [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex]:
- [tex](\alpha\gamma)^{hb}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\alpha^{hb}\gamma^{hb}=1[/tex] da cui segue che [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex]
- [tex]1=(\alpha\gamma)^{sh}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\gamma^{sh}[/tex] da cui segue che [tex]b[/tex] divide [tex]sh[/tex] e, poiché [tex](h,b)=1[/tex], allora [tex]b[/tex] divide [tex]s[/tex]
- [tex]1=(\alpha\gamma)^{sb}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\alpha^{sb}[/tex] da cui segue che [tex]h[/tex] divide [tex]sb[/tex] e, poiché [tex](h,b)=1[/tex], allora [tex]h[/tex] divide [tex]s[/tex]
- dunque sia [tex]b[/tex] che [tex]h[/tex] dividono [tex]s[/tex] e inoltre [tex](h,b)=1[/tex], per cui [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex]
In definitiva [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex] e [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex], per cui [tex]\alpha\gamma[/tex] ha ordine [tex]s=hb>h[/tex] e ciò è assurdo, poiché [tex]h[/tex] è l'ordine massimo.
Nota mia: ho controllato la dimostrazione, se risultasse davvero [tex](h,b)=1[/tex] i conti tornerebbero
Se per assurdo fosse [tex]h
Ora definiamo [tex]\gamma=\beta^d[/tex], allora risulta [tex]\gamma^b=\beta^{bd}=1[/tex], da cui segue che [tex]o(\gamma)=b[/tex].
Vogliamo mostrare che l'elemento [tex]\alpha\gamma[/tex] ha ordine [tex]s[/tex] maggiore di [tex]h[/tex], il che è un assurdo e dunque l'aver ipotizzato [tex]h
Per mostrare che [tex]s=hb[/tex] mostreremo che [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex] e [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex]:
- [tex](\alpha\gamma)^{hb}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\alpha^{hb}\gamma^{hb}=1[/tex] da cui segue che [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex]
- [tex]1=(\alpha\gamma)^{sh}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\gamma^{sh}[/tex] da cui segue che [tex]b[/tex] divide [tex]sh[/tex] e, poiché [tex](h,b)=1[/tex], allora [tex]b[/tex] divide [tex]s[/tex]
- [tex]1=(\alpha\gamma)^{sb}[/tex] (qui le parentesi tonde non indicano il MCD) [tex]=\alpha^{sb}[/tex] da cui segue che [tex]h[/tex] divide [tex]sb[/tex] e, poiché [tex](h,b)=1[/tex], allora [tex]h[/tex] divide [tex]s[/tex]
- dunque sia [tex]b[/tex] che [tex]h[/tex] dividono [tex]s[/tex] e inoltre [tex](h,b)=1[/tex], per cui [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex]
In definitiva [tex]s[/tex] divide [tex]hb[/tex] e [tex]hb[/tex] divide [tex]s[/tex], per cui [tex]\alpha\gamma[/tex] ha ordine [tex]s=hb>h[/tex] e ciò è assurdo, poiché [tex]h[/tex] è l'ordine massimo.
Nota mia: ho controllato la dimostrazione, se risultasse davvero [tex](h,b)=1[/tex] i conti tornerebbero
Ok, ci sono.
Eravamo arrivati ad avere il nostro [tex]\gamma[/tex] di ordine [tex]p^k[/tex] che non divide [tex]h[/tex]. Ora uso l'argomento di prima: detta [tex]p^u[/tex] la massima potenza di [tex]p[/tex] che divide [tex]h[/tex] (osserva che dev'essere [tex]k>u[/tex]), l'elemento [tex]\alpha^{p^u}[/tex] ha ordine [tex]j=h/p^u[/tex]. Ora si ha [tex](j,p^k)=1[/tex], quindi puoi usare l'argomento della dimostrazione che hai scritto per dedurre che [tex]\alpha^{p^u} \gamma[/tex] ha ordine [tex]jp^k[/tex] (è un fatto generale: se due elementi commutano ed hanno ordine coprimo allora l'ordine del prodotto è il prodotto degli ordini). Siccome [tex]k>u[/tex] si ha [tex]jp^k > jp^u = h[/tex] e quindi abbiamo finito.
In pratica l'idea di prendere una potenza era giusta, ma bisognava prendere una potenza di [tex]\alpha[/tex], non di [tex]\beta[/tex].
Dimmi se ti torna.
PS. Effettivamente la dimostrazione che ti hanno illustrato è incompleta e scritta male.
Eravamo arrivati ad avere il nostro [tex]\gamma[/tex] di ordine [tex]p^k[/tex] che non divide [tex]h[/tex]. Ora uso l'argomento di prima: detta [tex]p^u[/tex] la massima potenza di [tex]p[/tex] che divide [tex]h[/tex] (osserva che dev'essere [tex]k>u[/tex]), l'elemento [tex]\alpha^{p^u}[/tex] ha ordine [tex]j=h/p^u[/tex]. Ora si ha [tex](j,p^k)=1[/tex], quindi puoi usare l'argomento della dimostrazione che hai scritto per dedurre che [tex]\alpha^{p^u} \gamma[/tex] ha ordine [tex]jp^k[/tex] (è un fatto generale: se due elementi commutano ed hanno ordine coprimo allora l'ordine del prodotto è il prodotto degli ordini). Siccome [tex]k>u[/tex] si ha [tex]jp^k > jp^u = h[/tex] e quindi abbiamo finito.
In pratica l'idea di prendere una potenza era giusta, ma bisognava prendere una potenza di [tex]\alpha[/tex], non di [tex]\beta[/tex].
Dimmi se ti torna.
PS. Effettivamente la dimostrazione che ti hanno illustrato è incompleta e scritta male.
Torna tutto perfettamente!!
Grazie mille per l'attenzione.
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