Esistenza GCD fra due elementi di un dominio

[nuwanda1]

Salve a tutti! Come da titolo, sono impelagato nella comprensione del $GCD$ in un dominio d'itnegrità.

Intanto l'esercizio da cui sono partito: sto cercando $(2,x)$ nell'anello dei polinomi a coefficienti interi, ovvero in $Z[x]$. Dovrebbe essere $1$ a rigor di logica, ma non so come dimostrarlo!

Più in generale,se sono in un $PID$ il modo di trovare il $GCD$ è abbastanza facile (il $GCD$ tra $a$ e $b$ è l'ideale generato da $a$ e $b$, che è principale e quindi generato da un singolo elemento). In un $UFD$ invece non ho questa proprietà, infatti come nell'esercizio sopra citato se siamo in $Z[x]$ $1$ non sta nell'ideale generato da $2$ e da $x$. Le mie domande sono: in un $UFD$ esiste sempre il $GCD$ tra due elementi?? Come si fa a trovarlo?? Come si fa a vedere che non esiste un $GCD$ tra due elementi??

Anche se non rispondete a tutte le domande ma avete qualche spunto su cui lavorare scrivete pure, magari può essere decisivo!

[j18eos]

Penso che l'esercizio si risolva facilmente utilizzando la definizione di GCD, poi si vede a occhio (a meno che io non sia ceco) che in \(\mathbb{Z}[x]\) gli elementi \(2\) e \(x\) non sono coprimi!

[nuwanda1]

Se non sono coprimi qual è il primo che divide sia $x$ che $2$ in $Z[x]$ che non sia 1?

[j18eos]

Chiarifico che scrivevo della mia cecità;

premesso ciò: non possono essere \(2\) e \(x\) coprimi in quanto \(\mathbb{Z}[x]\neq(2,x)\) (ideale generato da quegli elementi). Cosa concludi da tutto ciò?