Esistenza di elementi mininali

[Cantor99]

Salve chiedo aiuto per questo esercizio

'Sia $(S,<=)$ un insieme ordinato tale che ogni parte totalmente ordinata sia inferiormente limitata. Provare che $(S,<=)$ è dotato di elementi mininali'

L'enunciato assomiglia al lemma di Zorn ma è a parti invertite, non saprei come procedere... Premetto inoltre che non conosco la dimostrazione del lemma di Zorn

Grazie

[killing_buddha]

Non esiste una dimostrazione del lemma di Zorn, è un assioma. E questo mi sembra esattamente il lemma di Zorn per l'ordine opposto su $S$.

[Cantor99]

Mi sono espresso male, intendevo la dimostrazione del lemma di Zorn a partite dall'assioma della scelta.
Il libro me lo propone come esercizio e non penso che sia "troppo difficile" perché altrimenti ne avrebbe scirtta una dimostrazione...
Che itendi poi per ordine opposto?

[killing_buddha]

\((S,\le^\text{op})\) ha lo stesso supporto di \((S,\le)\) (l'insieme $S$) ma il suo ordine è definito da \(x\le^\text{op} y\) sse \(y\le x\).

[Cantor99]

Sarebbe quella che io chiamo relazione opposta. Quindi in pratica posso dimostrarlo così.

Sia $(S,<=)$ tale che ogni parte totalmente ordinata $F$ è inferiormente limitata.
-Le parti totalmente ordinate di $(S,<=^(op))$ sono le stesse di $(S,<=)$. Infatti per ogni parte $F$ totalmente ordinata di $(S,<=)$ e $x,y in F$ si ha
$x<=y or y<=x => y<=^(op)x or x<=^(op)y$
-Ogni parte $F$ di $S$ è superiormente limitata in $(S,<=^(op))$ infatti per ogni $x in S$, detto $a in S$ l'estremo inferiore di $(F,<=)$, si ha
$a<=x => x<=^(op)a$
Cioè $a$ è un estremo superiore e $(F,<=^(op))$ è superiormente limitato. Per il lemma di Zorn esiste allora un elemento massimale $\mu$ in per l'insieme ordinato $(S,<=^(op))$.
-Terminiamo dimostrando che $\mu$ è un elemento minimale di $(S,<=)$. Per ogni $x in S$
$\mu<=^(op)x => x=\mu$
Cioè
$x<=\mu => x=\mu$

Può andare?