Esistenza delle soluzioni di una congruenza

[Injo]

Ho la congruenza [tex]y+iv\equiv x+ju \bmod{uv}[/tex] dove [tex]u[/tex] e [tex]v[/tex] sono coprimi. In ciò che sto leggendo è dato per scontato che, fissati [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex], esista una coppia [tex]i[/tex], [tex]j[/tex] che soddisfi la congruenza. La cosa non mi è sembrata così immediata così ho cercato di dimostrarlo. Ovviamente mi sono bloccato quasi subito (non ho mai trattato problemi di questo tipo).

Sapreste darmi qualche consiglio?

[Lord K]

Osserva che:

[tex]y+iv\equiv x+ju \bmod{uv}[/tex]

è come dire:

[tex]y+iv - (x+ju) = \lambda uv[/tex]

Da questo procediamo così (cerco di raggiungere un sistema di congruenze):

[tex]y+iv \equiv x \mod u[/tex]
[tex]y \equiv x +ju \mod v[/tex]

Nel primo caso ricavi [tex]i[/tex] ovvero:

[tex]i \equiv (x-y)v^{-1} \mod u[/tex]

ed analogamente:

[tex]j \equiv (y-x)u^{-1} \mod v[/tex]

Osserva che dall'essere [tex]\gcd (u,v)=1 \Leftrightarrow \mu u+\phi v =1[/tex] allora [tex][v^{-1}]_u=\phi, [u^{-1}]_v=\mu[/tex]

ed allora ottieni la soluzione finale che ti va bene:

[tex]i \equiv (x-y)\phi \mod u[/tex]
[tex]j \equiv (y-x)\mu \mod v[/tex]

Facciamo anche una verifica:

[tex]y+ ((x-y)\phi + k_u u)v \equiv x+ ((y-x)\mu + k_v v)u \mod {uv}[/tex]
[tex]y+ (x-y)\phi v + k_u uv \equiv x+ (y-x)\mu u + k_v vu \mod {uv}[/tex]
[tex]y+ (x-y)\phi v \equiv x+ (y-x)\mu u \mod {uv}[/tex]
[tex]y + (x-y)(1- \mu u) \equiv x(1-\mu u) + y\mu u[/tex]

e si giunge finalmente all'uguaglianza:

[tex]y + x(1- \mu u) - y +y\mu u \equiv x(1-\mu u) + y\mu u \mod{uv}[/tex]

Tutto chiaro?

[Injo]

Credo di aver capito. Avevo anche io seguito quella strada inizialmente ma mi ero perso da qualche parte

Alla fine ero riuscito a tirare su una dimostrazione (piuttosto pesante) utilizzando i sistemi diofantei ma questa mi sembra molto più elegante.

Grazie