Esiste l'omomorfismo?
Ciao a tutti, dovrei trovare se esiste un omomorfismo tra $ZZxZZ$ e $(ZZ_3[x])/(x^2+1)$. Provando a tentativi non sono riuscito a trovarlo, e sospetto che non esista. Ma come si dimostra che non esiste nessun omomorfismo?
Grazie
Grazie
Risposte
EDIT: Qui c'era una cosa di cui mi devo vergognare.
Si esatto ho corretto...
Ma quindi due anelli per essere omomorfi DEVONO avere la stessa caratteristica?
Io sapevo che se la caratteristica è diversa allora non esiste un ISOmorfismo... vale per gli omomorfismi in generale allora?
Grazie
Ma quindi due anelli per essere omomorfi DEVONO avere la stessa caratteristica?
Io sapevo che se la caratteristica è diversa allora non esiste un ISOmorfismo... vale per gli omomorfismi in generale allora?
Grazie
Quello che dici sopra è corretto. Ho editato, e ho anche cambiato idea!
Vediamo di costruire l'omomorfismo cercato. Il primo anello non è integro, mentre il secondo sì. Quindi uno dei due tra $(0,1)$ e $(1,0)$ deve andare in 0. Se ci va $(0,1)$, ci vanno tutti gli elementi della forma (0,a), e quindi vale f(a,b)=f(a,0). Insomma un omomorfismo si fattorizza tramite $Z$ con la proiezione $\pi_1$. Ma da $ZZ$ in $R$ esiste un unico omomorfismo non nullo: quello che manda 1 in 1.
In sostanza, gli omomorfismi che cerchi sono due : $\phi \circ \pi_1$ e $\phi \circ \pi_2$ ove $\phi$ è l'isomorfismo canonico da $ZZ$ in $(ZZ[X])/(x^2+1)$.
Vediamo di costruire l'omomorfismo cercato. Il primo anello non è integro, mentre il secondo sì. Quindi uno dei due tra $(0,1)$ e $(1,0)$ deve andare in 0. Se ci va $(0,1)$, ci vanno tutti gli elementi della forma (0,a), e quindi vale f(a,b)=f(a,0). Insomma un omomorfismo si fattorizza tramite $Z$ con la proiezione $\pi_1$. Ma da $ZZ$ in $R$ esiste un unico omomorfismo non nullo: quello che manda 1 in 1.
In sostanza, gli omomorfismi che cerchi sono due : $\phi \circ \pi_1$ e $\phi \circ \pi_2$ ove $\phi$ è l'isomorfismo canonico da $ZZ$ in $(ZZ[X])/(x^2+1)$.
Benissimo! 
Per quanto riguarda la caratteristica, ho trovato questa cosa su wikipedia:
Se $varphi:R->R'$ è un morfismo tra anelli, allora $"char"R' " "|" char"R$.
In questo caso $"char"ZZ\timesZZ=0$ e $"char"(ZZ[x])/(x^2+1)=3$.
Allora per esistere un morfismo, 3 deve dividere 0.
Ehm ma 3 divide 0 ?!
Per quanto riguarda la caratteristica, ho trovato questa cosa su wikipedia:
Se $varphi:R->R'$ è un morfismo tra anelli, allora $"char"R' " "|" char"R$.
In questo caso $"char"ZZ\timesZZ=0$ e $"char"(ZZ[x])/(x^2+1)=3$.
Allora per esistere un morfismo, 3 deve dividere 0.
Ehm ma 3 divide 0 ?!
A parte $char R' | char R$, 3 divide 0 perché 0 è multiplo di 3, cioè esiste d tale che 3d=0.
Eh sì esatto... Ah ok benissimo, grazie!
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