Esercizio:Stabilire se la funzione è iniettiva e suriettiva!
Ciao a tutti! In un compito di matematica avevo questo esercizio:
Data una $ f: NN rarr ZZ +
$ f(X)=3*X+1 $
Dovevo stabilire se era iniettiva e suriettiva.
Allora l'iniettività l'ho dimostrata e la funzione è iniettiva. E la suriettività?
La condizione è che:
Per ogni y che appartiene a Z+ deve esistere una x che appartiene a N in modo che risulti f(x) = y
Se per esempio come y scelgo 7 per esempio, devo trovare una x intera positiva che appartenga all'insieme dei numeri naturali tal che se sostituita alla funzione mi dia 7, e questa x è il 2:
y=7
x=2
$ f(2)=3*2+1=6+1=7 $
Ma se come y scelgo 2, non trovo nessuna x che sostituita alla funzione mi dia 2!! Quindi devo dedurre che la funzione non è suriettiva?
La definizione dice che una funzione si dice suriettiva quando OGNI elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, in questo caso il 7 era immagine del 2.. E il 2 non veniva associato con nulla, quindi non era suriettiva?
E se eventualmente la funzione non è suriettiva, quale insieme dovrei scegliere al posto di Z+ affinchè lo diventi? Grazie mille per l'aiuto!!
Data una $ f: NN rarr ZZ +
$ f(X)=3*X+1 $
Dovevo stabilire se era iniettiva e suriettiva.
Allora l'iniettività l'ho dimostrata e la funzione è iniettiva. E la suriettività?
La condizione è che:
Per ogni y che appartiene a Z+ deve esistere una x che appartiene a N in modo che risulti f(x) = y
Se per esempio come y scelgo 7 per esempio, devo trovare una x intera positiva che appartenga all'insieme dei numeri naturali tal che se sostituita alla funzione mi dia 7, e questa x è il 2:
y=7
x=2
$ f(2)=3*2+1=6+1=7 $
Ma se come y scelgo 2, non trovo nessuna x che sostituita alla funzione mi dia 2!! Quindi devo dedurre che la funzione non è suriettiva?
La definizione dice che una funzione si dice suriettiva quando OGNI elemento di B è immagine di almeno un elemento di A, in questo caso il 7 era immagine del 2.. E il 2 non veniva associato con nulla, quindi non era suriettiva?
E se eventualmente la funzione non è suriettiva, quale insieme dovrei scegliere al posto di Z+ affinchè lo diventi? Grazie mille per l'aiuto!!
Risposte
ciao, benvenuta nel forum 
consiglio di correggere le formule nel tuo messaggio come da regolamento, sennò qualcuno potrebbe "arrabbiarsi"... 
e poi così la tua richiesta sarà più facile da leggere e comprendere! 
consiglio di correggere le formule nel tuo messaggio come da regolamento, sennò qualcuno potrebbe "arrabbiarsi"... e poi così la tua richiesta sarà più facile da leggere e comprendere!
Si perdonami è solo che non sapevo utilizzare il box per l'inserimento delle formule, adesso provo a correggerlo. Grazie
Piu' che il codominio dovresti cambiare il dominio affinche' la funzione sia suriettiva, in modo tale che ogni elemento di $ZZ+$ abbia almeno una controimmagine nel dominio.
Si, puoi concludere che la funzione non è suriettiva perché esiste un elemento del codominio (ne basta uno) che non viene raggiunto dalla funzione. Se vuoi rendere la funzione suriettiva ("suriettificazione") hai due possibilità. La prima è, come dice GundamRX91, cambiare il dominio (ad esempio, se prendi $ RR $ al posto di $NN$, la tua equazione lineare avrà sempre soluzione). Oppure potresti (Molto scomodo 
) togliere dal codominio gli elementi che non vengono raggiunti...
) togliere dal codominio gli elementi che non vengono raggiunti...
Grazie ragazzi, mi sono convinta del fatto che non è suriettiva. Il testo dell'esercizio continuava dicendo:
Se f non è bigettiva, trova l'insieme $ T $ da sostituire a $ ZZ + $ affinchè lo risulti
Come devo risolverlo? Va bene sempre $ RR $
Se f non è bigettiva, trova l'insieme $ T $ da sostituire a $ ZZ + $ affinchè lo risulti
Come devo risolverlo? Va bene sempre $ RR $
Allora, ti sarai accorta che devi risolvere una equazione, adesso devi scegliere l'insieme numerico in cui quell'equazione ha soluzione. Adesso, IN QUESTO CASO ( 
) $RR$ va bene. Domanda: ti viene in mente una scelta migliore?
) $RR$ va bene. Domanda: ti viene in mente una scelta migliore?
Tipo.. Devo trovare $ y-1 // 3 in N $
Cioè quei numeri interi positivi che divisi per 3 danno resto di 1? E quello che ottengo è l'insieme da sostituire a $ ZZ +$ ?
Cioè quei numeri interi positivi che divisi per 3 danno resto di 1? E quello che ottengo è l'insieme da sostituire a $ ZZ +$ ?
Ah, cancella la mia risposta, è sbagliata perché non ho letto la domanda che hai posto... -_-
Allora, la tua risposta è giusta. L'unico inconveniente è che adesso dovresti formalizzare il fatto che così raggiungi tutti i naturali (cioè, arrivi a tutti gli elementi del dominio)... Diversamente, ti conviene modellare l'insieme come (completamente EQUIVALENTE) l'insieme $I$, formato da tutti i numeri nella forma $3*n+1$, dove $n in NN$..
Scusa ancora..
Allora, la tua risposta è giusta. L'unico inconveniente è che adesso dovresti formalizzare il fatto che così raggiungi tutti i naturali (cioè, arrivi a tutti gli elementi del dominio)... Diversamente, ti conviene modellare l'insieme come (completamente EQUIVALENTE) l'insieme $I$, formato da tutti i numeri nella forma $3*n+1$, dove $n in NN$..
Scusa ancora
..
"Nico.Le":
Tipo.. Devo trovare $ y-1 // 3 in N $
Cioè quei numeri interi positivi che divisi per 3 danno resto di 1? E quello che ottengo è l'insieme da sostituire a $ ZZ +$ ?
Se stai pensando a $ZZ_3$ non credo vada bene, semmai un elemento di esso, considerati solo i numeri positivi, potrebbe andare bene, ma non ne sono proprio certo.... vediamo che qualcuno piu' esperto ci risponde
Ovviamente $ZZ_3$ in se non va bene, visto che contiene 3 elementi e quindi la funzione perderebbe l'iniettività. Ho già dato sopra la definizione dell'insieme da considerare, ma se volete complicarvi la vita, potete dare una TERZA definizione EQUIVALENTE, prendendo tutti i numeri positivi che si trovano nella classe resto $[1]$ di $ZZ_3$ (nient'altro che i naturali nella forma $3*n+1, n in NN$ )...
"J_Zero":
Ovviamente $ZZ_3$ in se non va bene, visto che contiene 3 elementi e quindi la funzione perderebbe l'iniettività. Ho già dato sopra la definizione dell'insieme da considerare, ma se volete complicarvi la vita, potete dare una TERZA definizione EQUIVALENTE, prendendo tutti i numeri positivi che si trovano nella classe resto $[1]$ di $ZZ_3$ (nient'altro che i naturali nella forma $3*n+1, n in NN$ )...
in effetti l'avevi riportato nel post precedente...
C'e' una notazione precisa per indicare i soli numeri positivi della classe resto $[1]_(mod 3)$ ?
Il modo più semplice per rendere l'applicazione suriettiva consiste nel partire da [tex]f\colon \mathbb{N}\to \mathbb{Z}^{+}[/tex] e sostituire a [tex]\mathbb{Z}^{+}[/tex] l'insieme [tex]f(\mathbb{N})[/tex], cioè l'immagine dell'applicazione.
$ZZ_3$ non va bene pechè ci sono tre classi di equivalenza e tu ne usi solo una. Se usi la classe di equivalenza di 1 come codominio della funzione, ottieni una funzione suriettiva ma non iniettiva, perchè ogni elemento $x in NN$ viene mandato in $[1] in ZZ_3$.
Secondo me è più semplice fare la restrizione della funzione a $Im(f)$ e in questo caso $T=Im(f)={yinZZ , y=3x+1 , x inNN }$.
Secondo me è più semplice fare la restrizione della funzione a $Im(f)$ e in questo caso $T=Im(f)={yinZZ , y=3x+1 , x inNN }$.
Grazie a tutti ragazzi! Mi avete aiutato tantissimo! Auguro a tutti buone feste 
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