[Esercizio]Fattorizzazione polinomio su campo R
\(x^4 + 4x^3 - 19x^2 + 8x - 42\) fattorizzare come prodotto di irriducibili in \(\mathbb{R}\) e in \(\mathbb{Q}\)
in \(\mathbb{Q}\)
Di solito io faccio delle prove con i primi numeri (es. \(\pm 1\) ,\(\pm 3\) ,\(\pm 3\)) per vedere se ho fortuna e trovo subito una radice intera, e infatti mi sono accorto che una radice era \(3\).
Faccio la divisione tra \(x^4 + 4x^3 - 19x^2 + 8x - 42\) e \(x-3\) e mi ritrovo con:
\(x^3+7x^2+2x+14\)
a questo punto l'unico metodo che mi è venuto in mente è quello di provare i divisori di \(\frac{14}{1}\) e infatti \(-7\) è un'altra radice.
vado avanti e trovo alla fine tutti polinomi irriducibili.
L'esercizio lo devo ancora concludere, nel senso che devo fare dei calcoli, quello che volevo sapere è:
In questo caso la fattorizzazione in \(\mathbb{R}\) è la stessa?
Ma soprattutto, siccome sono uno studente lavoratore e non ho potuto seguire il corso... sto cercando di fare quegli esercizi che trovo sulle dispense e a giro su internet...
Ma quando mi dice di Fattorizzare in \(\mathbb{R}\), vado a tentativi finchè non raggiungo l'eq di secondo grado oppure c'è una sorta di linea guida da seguire?
in \(\mathbb{Q}\)
Di solito io faccio delle prove con i primi numeri (es. \(\pm 1\) ,\(\pm 3\) ,\(\pm 3\)) per vedere se ho fortuna e trovo subito una radice intera, e infatti mi sono accorto che una radice era \(3\).
Faccio la divisione tra \(x^4 + 4x^3 - 19x^2 + 8x - 42\) e \(x-3\) e mi ritrovo con:
\(x^3+7x^2+2x+14\)
a questo punto l'unico metodo che mi è venuto in mente è quello di provare i divisori di \(\frac{14}{1}\) e infatti \(-7\) è un'altra radice.
vado avanti e trovo alla fine tutti polinomi irriducibili.
L'esercizio lo devo ancora concludere, nel senso che devo fare dei calcoli, quello che volevo sapere è:
In questo caso la fattorizzazione in \(\mathbb{R}\) è la stessa?
Ma soprattutto, siccome sono uno studente lavoratore e non ho potuto seguire il corso... sto cercando di fare quegli esercizi che trovo sulle dispense e a giro su internet...
Ma quando mi dice di Fattorizzare in \(\mathbb{R}\), vado a tentativi finchè non raggiungo l'eq di secondo grado oppure c'è una sorta di linea guida da seguire?
Risposte
per le radici razionali (in $QQ$)esiste questa facile caratterizzazione.
Sia $f(X)=\sum_(i=0)^na_iX^i in Z[x]$ e $\alpha=r/s in Q$
se $\alpha $ è radice di $f(X)$ allora $s|a_n ^^ r|a_0$
comunque
vale questo $QQsube RR sube CC$ e quindi $Q[x]subeR[x]subeC[x]$ vuol dire che una volta che fattorizzi un polinomio in $QQ[x]$ quella stessa fattorizzazione vale anche in $RR[x]$ ma non vale il viceversa.
esempio :
$f(X)=x^2-2$ è irriducibile in $QQ[x]$ infatti le radici $+-\sqrt2$ non appartengono a $QQ$ ed essendo $f(X)$ di grado 2, segue che su $QQ[x]$ f è irriducibile. mentre lo è su $RR[x]$
infatti $f(X)=(x-sqrt2)(x+sqrt2)$
Sia $f(X)=\sum_(i=0)^na_iX^i in Z[x]$ e $\alpha=r/s in Q$
se $\alpha $ è radice di $f(X)$ allora $s|a_n ^^ r|a_0$
comunque
vale questo $QQsube RR sube CC$ e quindi $Q[x]subeR[x]subeC[x]$ vuol dire che una volta che fattorizzi un polinomio in $QQ[x]$ quella stessa fattorizzazione vale anche in $RR[x]$ ma non vale il viceversa.
esempio :
$f(X)=x^2-2$ è irriducibile in $QQ[x]$ infatti le radici $+-\sqrt2$ non appartengono a $QQ$ ed essendo $f(X)$ di grado 2, segue che su $QQ[x]$ f è irriducibile. mentre lo è su $RR[x]$
infatti $f(X)=(x-sqrt2)(x+sqrt2)$
Lo sospettavo ma non ne ero certo, grazie per la conferma! considerando che in \(\mathbb{Q}\) ci sono diverse strade da poter seguire tutto mi si semplifica 
Il metodo che hai postato ($\alpha=r/s in Q$) è proprio quello che ho utilizzato sopra (apparte per la prima radice, li ho avuto culo e ho fatto prima)
Grazie mille!
Il metodo che hai postato ($\alpha=r/s in Q$) è proprio quello che ho utilizzato sopra (apparte per la prima radice, li ho avuto culo e ho fatto prima
)Grazie mille!
aggiungo un paio di cose
in $Q[x]$ (si utilizza questa notazione $K[x]$ per specificare L'ANELLO dei polinomi e $K$ per il campo scelto. (può essere anche un anello, prendi ad esempio $ZZ$ e $ZZ[X]$)
i polinomi irriducibili non sono "caratterizzati a dovere." ne puoi trovare di qualsiasi grado. Però esistono teoremi che ci aiutano.Se vuoi, te li elenco.
In $RR[x]$ sono quelli di primo grado e quelli di secondo con il discriminante negativo
in $CC[x]$ solo i lineari.
edit : detto fesseria, non è vero che $K[X]$ è un campo!
e altra cosa considerato $\alpha=r/s$ per essere in $QQ$
deve risultare che $r,s in ZZ , (r,s)=1 ^^ s!=0$
in $Q[x]$ (si utilizza questa notazione $K[x]$ per specificare L'ANELLO dei polinomi e $K$ per il campo scelto. (può essere anche un anello, prendi ad esempio $ZZ$ e $ZZ[X]$)
i polinomi irriducibili non sono "caratterizzati a dovere." ne puoi trovare di qualsiasi grado. Però esistono teoremi che ci aiutano.Se vuoi, te li elenco.
In $RR[x]$ sono quelli di primo grado e quelli di secondo con il discriminante negativo
in $CC[x]$ solo i lineari.
edit : detto fesseria, non è vero che $K[X]$ è un campo!
e altra cosa considerato $\alpha=r/s$ per essere in $QQ$
deve risultare che $r,s in ZZ , (r,s)=1 ^^ s!=0$
Gentilissimo 
Ho riletto meglio anche le dispense ed effettivamente queste cose ci sono! Si tratta di fare un po' di esercizi ora per ricordarsele...
e visto che ci sono
\(x^4+4x^3-19x^2+8x-42\) in \(\mathbb{Z}_{13} [x]\)
per prima cosa trasformo in modulo:
\(x^4+4x^3+7x^2+8x+10\)
ma adesso?
io so che un metodo di risoluzione è provare tutti i "numeri" di \(\mathbb{Z}_{13} [x]\) che ovviamente vanno da 0 a 12 e vedere se tra questi c'è una radice...
\(\mathbb{Z}_{13} [x]\) però è già grandicello... è piuttosto lungo come metodo, cosa posso adottare?
p.s. l'ho già risolto con il metodo "lungo" è la soluzione dovrebbe essere \((x-3)(x-6)(x^2+2)\)
Ho riletto meglio anche le dispense ed effettivamente queste cose ci sono! Si tratta di fare un po' di esercizi ora per ricordarsele...
e visto che ci sono
\(x^4+4x^3-19x^2+8x-42\) in \(\mathbb{Z}_{13} [x]\)
per prima cosa trasformo in modulo:
\(x^4+4x^3+7x^2+8x+10\)
ma adesso?
io so che un metodo di risoluzione è provare tutti i "numeri" di \(\mathbb{Z}_{13} [x]\) che ovviamente vanno da 0 a 12 e vedere se tra questi c'è una radice...
\(\mathbb{Z}_{13} [x]\) però è già grandicello... è piuttosto lungo come metodo, cosa posso adottare?
p.s. l'ho già risolto con il metodo "lungo" è la soluzione dovrebbe essere \((x-3)(x-6)(x^2+2)\)
ciao raker, penso che dovresti valutare il polinomio per ogni $\alpha in ZZ_13$.
non credo ci siano metodi più veloci. se non aveva radici potevi supporre che $f$ era prodotto di due polinomi monici irriducibili di grado due.
non credo ci siano metodi più veloci. se non aveva radici potevi supporre che $f$ era prodotto di due polinomi monici irriducibili di grado due.
Ah ok, speravo in qualche classico "trucchetto" che quando te lo spiegano ci rimani malissimo 
ci vuol pazienza in questi casi allora
ci vuol pazienza in questi casi allora
forse, dovresti giocare sugli ordini degli elementi di $ZZ_13$ per semplificarti la vita. ci saran pure ma al momento non li conosco ci penserò"!
Il post è un po vecchiotto e datato , ma correggo una cosa che può servire ai novelli come me.
C'è un errore nella trasformazione del 19 in mod 13. Non è 7 , bensi 6. Quindi mi sa che le soluzioni forse non sono corrette
C'è un errore nella trasformazione del 19 in mod 13. Non è 7 , bensi 6. Quindi mi sa che le soluzioni forse non sono corrette
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