[Esercizio]Cardinalità e funzione biettiva

[lucia88]

Ciao a tutti,
ho il seguente esercizio:
$f:NN->ZZ$ definita così:
$f(n)=\{(n/2,\text{ se n e' pari}),(-(n+1)/2,\text{se n e' dispari}):} $

devo dimostrare che è biettiva ( e quindi che $ZZ$ è numerabile)

a) f è iniettiva $<=> f(m)=f(n) => n=m$
Ho analizzato 3 casi:
1)m,n pari (banale)
2)m,n dispari (banale)
3)$m=2k$ pari e $n=2h+1$ dispari, $h,k\inNN$:
$f(m)=f(n) => k+h=-1$
quindi posso dedurre che siccome sono numeri positivi questo è un assurdo e quindi la funzione è iniettiva?

b)invece per verificare che è suriettiva ?

[stormy1]

per il caso 3) del punto a) si poteva anche osservare che gli $n$ pari hanno immagine positiva o nulla e quelli dispari hanno immagine negativa

per la suriettività,si ha
$f(0)=0$
se $z<0$ esiste $n$ dispari tale che $z=-(n+1)/2$
se $z>0$ esiste $n$ pari tale che $z=n/2$