Esercizio teoria di Galois
Ciao a tutti.
Sto studiando teoria di Galois e per prepararmi allo scritto ho dato un'occhiata agli esami vecchi sulla pagina del professore.
In un problema mi si chiede di trovare tutti i sottocampi di $L:= QQ[ alpha, beta]$, dove $alpha$ è una radice primitiva quinta dell'unità e $ beta=sqrt(7) $.
Sono riuscito a mostrare che L è un'estensione di grado 8 su $QQ$ e che il gruppo di Galois dell'estensione è isomorfo a $ZZ_2 xx ZZ_4$.
Ora, dal teorema fondamentale della teoria di Galois, so che i sottocampi di L sono in corrispondenza biunivoca con i sottogruppi di $ZZ_2 xx ZZ_4$.
Se non erro i sottogruppi di $ZZ_2 xx ZZ_4$ dovrebbero essere 8 e precisamente $<(0,0)> , <(1,0)>, <(0,1)>, <(0,2)>, <(1,1)>, <(1,2)>,<(0,2),(1,0)>,<(0,1),(1,0)>$.
Sulle soluzioni però il professore scrive solo sette sottocampi. Sarei tentato di pensare che il professore abbia sbagliato a scrivere, se non fosse che non riesco a determinare l'ottavo campo, quello corrispondente al sottogruppo $<(1,2)>$, cioè quello che risulta fissato dal gruppo $<(tau,sigma^2)>$, dove $tau$ è l'automorfismo che manda $ sqrt(7) -> -sqrt(7) $ e $sigma$ quello che manda $ alpha -> alpha^2 $.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio, se sbaglio, oppure come fare per trovare l'ottavo campo?
Sto studiando teoria di Galois e per prepararmi allo scritto ho dato un'occhiata agli esami vecchi sulla pagina del professore.
In un problema mi si chiede di trovare tutti i sottocampi di $L:= QQ[ alpha, beta]$, dove $alpha$ è una radice primitiva quinta dell'unità e $ beta=sqrt(7) $.
Sono riuscito a mostrare che L è un'estensione di grado 8 su $QQ$ e che il gruppo di Galois dell'estensione è isomorfo a $ZZ_2 xx ZZ_4$.
Ora, dal teorema fondamentale della teoria di Galois, so che i sottocampi di L sono in corrispondenza biunivoca con i sottogruppi di $ZZ_2 xx ZZ_4$.
Se non erro i sottogruppi di $ZZ_2 xx ZZ_4$ dovrebbero essere 8 e precisamente $<(0,0)> , <(1,0)>, <(0,1)>, <(0,2)>, <(1,1)>, <(1,2)>,<(0,2),(1,0)>,<(0,1),(1,0)>$.
Sulle soluzioni però il professore scrive solo sette sottocampi. Sarei tentato di pensare che il professore abbia sbagliato a scrivere, se non fosse che non riesco a determinare l'ottavo campo, quello corrispondente al sottogruppo $<(1,2)>$, cioè quello che risulta fissato dal gruppo $<(tau,sigma^2)>$, dove $tau$ è l'automorfismo che manda $ sqrt(7) -> -sqrt(7) $ e $sigma$ quello che manda $ alpha -> alpha^2 $.
Qualcuno sa dirmi dove sbaglio, se sbaglio, oppure come fare per trovare l'ottavo campo?
Risposte
Grazie a tutti quelli che si sono interessati al problema, ma la notte ha portato consiglio e ho trovato la soluzione, che non era poi così difficile. Purtroppo ora non ho molto tempo, ma nei prossimi giorni posterò la risposta di modo che la discussione risulti completa. Grazie lo stesso.
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