Esercizio (Teoria dei Gruppi) - Prodotto diretto
Oggi leggendo su una dispensa scaricata un paio di giorni fa mi sono imbattuto in alcuni esercizi di algebra che riguardano i prodotti diretti, legati però all'applicazione dei teoremi di Sylow e, nonostante sia passato un pò di tempo dall'esame, ho cercato di svolgerli, ma di alcuni sono sicuro che mi sfugge qualcosa, legato ai prodotti diretti (fatti troppo in fretta forse). Comunque l'esercizio ci dice:
Determinare l'ordine e il numero dei p-Sylow di $ZZ_12xZZ_9$
Svolgimento:
Per l'ordine non ci dovrebbero essere problemi, in quanto è il prodotto degli ordini dei singoli componenti del prodotto diretto quindi $o(ZZ_12xZZ_9)=108$. Ora il problema si pone quando chiede il numero dei p-Sylow, in quanto negli esercizi sui teoremi di Sylow io non ho mai lavorato con gruppi dati dal prodotto diretto, quindi immagino che sia sbagliato partire dall'ordine e dire: $108=2^2*3^3$ allora ci sono 2-sylow di ordine 4, e 3-sylow di ordine 27 e andare a studiare il numero con le solite proprietà, anche perchè questo prodotto diretto è un gruppo abeliano (in quanto sono abeliani sia $ZZ_12$ che $ZZ_9$) allora automaticamente posso dire che $n_2=1, n_3=1$, e poi?!...non so come continuare.
Grazie
Determinare l'ordine e il numero dei p-Sylow di $ZZ_12xZZ_9$
Svolgimento:
Per l'ordine non ci dovrebbero essere problemi, in quanto è il prodotto degli ordini dei singoli componenti del prodotto diretto quindi $o(ZZ_12xZZ_9)=108$. Ora il problema si pone quando chiede il numero dei p-Sylow, in quanto negli esercizi sui teoremi di Sylow io non ho mai lavorato con gruppi dati dal prodotto diretto, quindi immagino che sia sbagliato partire dall'ordine e dire: $108=2^2*3^3$ allora ci sono 2-sylow di ordine 4, e 3-sylow di ordine 27 e andare a studiare il numero con le solite proprietà, anche perchè questo prodotto diretto è un gruppo abeliano (in quanto sono abeliani sia $ZZ_12$ che $ZZ_9$) allora automaticamente posso dire che $n_2=1, n_3=1$, e poi?!...non so come continuare.
Grazie
Risposte
Hai fatto tutto bene!
Ah bene XD, sono sorpreso di me stesso, ma ora riguardandolo mi chiedevo se potessi fare quest'ultima "finezza", cioè una volta che so $n_2=1$ allora so che esiste un certo $H$ sottogruppo normale in $ZZ_12xZZ_9$, ma io so che i gruppi di ordine 4 sono solo due $ZZ_4, V_4$, ma dalla forma del gruppo direi che $H=ZZ_4$. E dal fatto che $n_3=1$ allora esiste $K$ ssgr. normale e per le stesse considerazioni fatte in precedenza allora $K=ZZ_3xZZ_9$. Giusto?!
Inoltre vorrei chiedere un'altra cosa:
Quando lavoro con $D_3xZZ_5$, ho trovato una contraddizione cioè io so che $(o(D_3),o(ZZ_5))=(6,5)=1 =>$ è ciclico, ma ciclico implica abeliano, ed è qui che trovo la stranezza, perchè io so che $G_1xG_2$ è abeliano se $G_1,G_2$ sono abeliani. Qualcosa non mi torna.
Inoltre vorrei chiedere un'altra cosa:
Quando lavoro con $D_3xZZ_5$, ho trovato una contraddizione cioè io so che $(o(D_3),o(ZZ_5))=(6,5)=1 =>$ è ciclico, ma ciclico implica abeliano, ed è qui che trovo la stranezza, perchè io so che $G_1xG_2$ è abeliano se $G_1,G_2$ sono abeliani. Qualcosa non mi torna.
Sulla prima parte: sì!
Sulla seconda parte, ricordandoti che [tex]$D_3$[/tex] non è altri che [tex]$Sym3$[/tex], avendo 3 sottogruppi di ordine 2 non può essere ciclico così come ogni gruppo che lo abbia come sottogruppo. Da dove ti nasce questa assurdità?
Sulla seconda parte, ricordandoti che [tex]$D_3$[/tex] non è altri che [tex]$Sym3$[/tex], avendo 3 sottogruppi di ordine 2 non può essere ciclico così come ogni gruppo che lo abbia come sottogruppo. Da dove ti nasce questa assurdità?
Non mi torna perchè se noti sopra ho mostrato che il prodotto diretto è ciclico allora è abeliano, ma come dici tu e come ho già avevo notato il prodotto non è abeliano, ed è qui che pongo il punto di domanda.
"Lorin":Ma da dove piove?
...$(o(D_3),o(ZZ_5))=(6,5)=1 =>$ è ciclico...
Ecco l'assurdità di cui dicevo!
Ah si scusa, dimenticavo che la proprietà dice: Siano $G_1,G_2$ ciclici allora $G_1xG_2$ ciclico $<=>$ $o(o(G_1),o(G_2))=1$, io come uno sciocco ho supposto che $D_3$ fosse ciclico. ^^
Me n'ero ricordato poco fa di questa proprietà altrimenti ti avrei corretto prima. 
Chiudo per stasera... alla prossima.
Chiudo per stasera... alla prossima.
Vabbè l'importante è esserci arrivati. Alla prossima!
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