Esercizio sull'ordine delle classi di coniugio

[pavola1]

Ciao, ecco un esercizio per il quale avrei bisogno di un piccolo aiuto:

Si determinino le classi di coniugio di G = $S_5$, determinandone in particolare l’ordine. (Suggerimento: sono 7.)

Il mio svolgimento:

${id};$
${(12), (13), (14), (15), (23), (24), (25), (34), (35), (45)};$
${(123), (124), (125), (132), (134), (135), (142), (143), (145), (152), (154), (234), (235), ...};$
${(1234), ...};$
${(12345), ...};$
${(12)(34), ...};$
${(123)(45), ...}.$

So che $|S_5|=5!$ e che per il primo l'ordine è 1, per il secondo è 10(si può vedere anche dalla formula) e per gli altri tre è dato da $(n!)/(k(n-k)!)$, quindi gli ordini del terzo, quarto e quinto sono, rispettivamente, 20, 30 e 24(se non ho sbagliato).
Per gli ultimi due invece non ho idea di come si possa trovare l'ordine ed è qui che avrei bisogno del vostro aiuto.
Inoltre vorrei avere una spiegazione pratica della formula, se possibile.
Grazie mille.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao!

Il concetto è semplice: il coniugato di $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ tramite $sigma$ è $(sigma(1)\ sigma(2)\ sigma(3)) (sigma(4)\ sigma(5))$. Più in generale se vuoi coniugare un prodotto di cicli disgiunti tramite $sigma$ basta che sostituisci ad ogni simbolo la sua immagine tramite $sigma$.

In particolare i coniugati di $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ non sono altro che tutte le permutazioni del tipo $(a\ b\ c)(d\ e)$. Quindi l'ordine della classe di coniugio di $(1\ 2\ 3)(4\ 5)$ è uguale al numero di $3$-cicli (infatti se scegli un $(a\ b\ c)$ poi il $(d\ e)$ è automaticamente determinato).

Analogamente nell'altro caso: i coniugati di $(1\ 2)(3\ 4)$ sono esattamente le permutazioni del tipo $(a\ b)(c\ d)$, ecc.

[pavola1]

In particolare i coniugati di (1 2 3)(4 5) non sono altro che tutte le permutazioni del tipo (a b c)(d e). Quindi l'ordine della classe di coniugio di (1 2 3)(4 5) è uguale al numero di 3-cicli (infatti se scegli un (a b c) poi il (d e) è automaticamente determinato).

E' automaticamente determinato tra i 2-cicli che non contengono a, b e c, no?
Ma non esiste una formula per determinare l'ordine di questo tipo di classi?
Grazie

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"pavola":

In particolare i coniugati di (1 2 3)(4 5) non sono altro che tutte le permutazioni del tipo (a b c)(d e). Quindi l'ordine della classe di coniugio di (1 2 3)(4 5) è uguale al numero di 3-cicli (infatti se scegli un (a b c) poi il (d e) è automaticamente determinato).

E' automaticamente determinato tra i 2-cicli che non contengono a, b e c, no?

Si sta parlando di decomposizione in cicli disgiunti, quindi il 2-ciclo fuori da (abc) sicuramente contiene d ed e.

Ma non esiste una formula per determinare l'ordine di questo tipo di classi?

Certo che esiste, ed è facile trovarla quando si è capita l'idea. Per esempio l'ordine della classe di coniugio di un $k$-ciclo è $(k-1)! ((n),(k))$ (credo fosse quella su cui hai chiesto delucidazioni) perché bisogna scegliere un sottoinsieme di $k$ elementi (in totale sono $((n),(k))$) e poi metterli in ordine in $(k-1)!$ modi (non in $k!$ perché bisogna tener conto delle rappresentazioni "multiple", per esempio $(123)=(231)=(312)$). Seguendo questa idea puoi trovare una formula per un generico elemento decomponibile in un prodotto di $l$ cicli disgiunti di lunghezze $d_1,...,d_l$, ma immagino che tale formula risulterà abbastanza sgradevole.

[pavola1]

Ok, ho capito! Grazie mille!