Esercizio sull'omomorfismo di gruppi
Buongiorno, non capisco una parte della soluzione del seguente esercizio che ho provato a svolgere.
Siano \(\displaystyle (G, +) \) e \(\displaystyle (G', +) \) due gruppi abeliani, \(\displaystyle H < G \), \(\displaystyle H' < G' \) e \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') = \{f : G \rightarrow G' \ | \ f \text{ omomorfismo}\} \) con \(\displaystyle (f + g)(x) = f(x) + g(x) \ \forall x \in G \).
Determinare se \(\displaystyle B = \{f \in \mathrm{Hom}(G, G') \ | \ \mathrm{Ker}(f) \supseteq H\} \) è un sottogruppo di \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') \).
L'elemento neutro di \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') \) è \(\displaystyle e(x) = 0 \ \forall x \in G \), quindi \(\displaystyle e \in B \). Il punto che non mi è chiaro è: "Se \(\displaystyle f, g \in B \) e \(\displaystyle h \in H \), allora \(\displaystyle f(h) = g(h) = 0 \), quindi \(\displaystyle (f + g)(h) = 0 \) e \(\displaystyle f + g \in B \). Infine, se \(\displaystyle f \in B \) e \(\displaystyle h \in H \), allora \(\displaystyle f(h) = 0 \) quindi \(\displaystyle (-f)(h) = 0 \) e \(\displaystyle -f \in B \)."
Gli elementi di \(\displaystyle B \) sono omomorfismi da \(\displaystyle G \) a \(\displaystyle G' \): non dovremmo controllare la chiusura e l'esistenza dell'elemento inverso con \(\displaystyle f, g \in B \) e \(\displaystyle x \in G \)? Perché è sufficiente controllarle con un elemento generico di \(\displaystyle H \), sottogruppo proprio di \(\displaystyle G \)?
Siano \(\displaystyle (G, +) \) e \(\displaystyle (G', +) \) due gruppi abeliani, \(\displaystyle H < G \), \(\displaystyle H' < G' \) e \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') = \{f : G \rightarrow G' \ | \ f \text{ omomorfismo}\} \) con \(\displaystyle (f + g)(x) = f(x) + g(x) \ \forall x \in G \).
Determinare se \(\displaystyle B = \{f \in \mathrm{Hom}(G, G') \ | \ \mathrm{Ker}(f) \supseteq H\} \) è un sottogruppo di \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') \).
L'elemento neutro di \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') \) è \(\displaystyle e(x) = 0 \ \forall x \in G \), quindi \(\displaystyle e \in B \). Il punto che non mi è chiaro è: "Se \(\displaystyle f, g \in B \) e \(\displaystyle h \in H \), allora \(\displaystyle f(h) = g(h) = 0 \), quindi \(\displaystyle (f + g)(h) = 0 \) e \(\displaystyle f + g \in B \). Infine, se \(\displaystyle f \in B \) e \(\displaystyle h \in H \), allora \(\displaystyle f(h) = 0 \) quindi \(\displaystyle (-f)(h) = 0 \) e \(\displaystyle -f \in B \)."
Gli elementi di \(\displaystyle B \) sono omomorfismi da \(\displaystyle G \) a \(\displaystyle G' \): non dovremmo controllare la chiusura e l'esistenza dell'elemento inverso con \(\displaystyle f, g \in B \) e \(\displaystyle x \in G \)? Perché è sufficiente controllarle con un elemento generico di \(\displaystyle H \), sottogruppo proprio di \(\displaystyle G \)?
Risposte
$B$ è in biiezione con il gruppo degli omomorfismi \(G/H\to G'\), che è un gruppo abeliano, quindi è un sottogruppo (=si identifica a un sottogruppo) di \(\hom(G,G')\) per trasporto di struttura. (A cosa ti serve il sottogruppo $H'$?)
Abbi pazienza, sono alle prime armi: come si fa a dire che \(\displaystyle B \) è in biiezione con il gruppo degli omomorfismi \(\displaystyle G/H \rightarrow G \)' ? So che se \(\displaystyle f: G \rightarrow G' \) è suriettiva, allora \(\displaystyle G/\mathrm{Ker}(f) \simeq G' \). Ma chi mi dice che \(\displaystyle f \) è suriettiva? Hai ragione, \(\displaystyle H' \) non serve a nulla: era un esercizio in 4 punti e \(\displaystyle H' \) serviva per altri 2 punti. Questo è il punto che non capisco.
E' il primo teorema di isomorfismo:
\[\hom(G/H,G')\cong\{f : G\to G' \mid f|_H = 0\}\] cioè il gruppo (abeliano) degli omomorfismi dal quoziente \(G/H\) verso \(G'\) coincide con l'insieme degli omomorfismi \(G\to G'\) il cui nucleo contiene \(H\). Spero di non doverti scrivere la definizione esplicita di questo isomorfismo, dato che mi aspetto tu sappia di cosa parlo.
Perché questo teorema sia valido, non è necessario che \(f\) sia suriettiva; certo in tal caso \(G/\ker f\cong G'\), ma quello che afferma in generale (una conseguenza de)l primo teorema di isomorfismo è che \(G/\ker f\cong \text{im } f\).
\[\hom(G/H,G')\cong\{f : G\to G' \mid f|_H = 0\}\] cioè il gruppo (abeliano) degli omomorfismi dal quoziente \(G/H\) verso \(G'\) coincide con l'insieme degli omomorfismi \(G\to G'\) il cui nucleo contiene \(H\). Spero di non doverti scrivere la definizione esplicita di questo isomorfismo, dato che mi aspetto tu sappia di cosa parlo.
Perché questo teorema sia valido, non è necessario che \(f\) sia suriettiva; certo in tal caso \(G/\ker f\cong G'\), ma quello che afferma in generale (una conseguenza de)l primo teorema di isomorfismo è che \(G/\ker f\cong \text{im } f\).
Grazie mille. Sono andato avanti a sbirciare sugli appunti (non miei) e vedo che il primo teorema di isomorfismo è successivo al punto in cui ero arrivato. Questo era il primo esercizio proposto sui gruppi. Andrò avanti con la teoria e poi ci ritornerò sopra. Nel frattempo penso di aver capito. Per caso ci va \(\displaystyle G' \) al posto di \(\displaystyle H \) così?
\[\hom(G/H,G')\cong\{f : G\to G' \mid f|_H = 0\}\]
Quello che stavo cercando era un isomorfismo su \(\displaystyle G' \) e non su \(\displaystyle \mathrm{Im}(f) \subseteq G' \). Ma non voglio disturbarti ulteriormente. Proseguo con la teoria e, se avrò altri dubbi, mi rifarò vivo.
Grazie ancora e buona serata.
"megas_archon":
\[\hom(G/H,G')\cong\{f : G\to H \mid f|_H = 0\}\]
\[\hom(G/H,G')\cong\{f : G\to G' \mid f|_H = 0\}\]
Quello che stavo cercando era un isomorfismo su \(\displaystyle G' \) e non su \(\displaystyle \mathrm{Im}(f) \subseteq G' \). Ma non voglio disturbarti ulteriormente. Proseguo con la teoria e, se avrò altri dubbi, mi rifarò vivo.
Grazie ancora e buona serata.
Sì, certo, invece di H avrei dovuto scrivere $G'$, correggo.
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