Esercizio sulle strutture algebriche.
Buongiorno, ho il seguente esercizio:
Provare che l'insieme $S$ delle matrici quadrata dalla forma
Mi sono risposto così:
1) Per verificare la stabilità occorre provare $acdotb$ per ogni $a,b in S$, risulta
poiché gli elementi presenti nella matrice $c$, sono elementi di $ZZ_4$ e l'operazione $cdot$ è l'operazione di $ZZ_4$ ovvero è il prodotto di $ZZ_4$ tra classi di resto modulo $4$ per cui continua ad appartenere a $ZZ_4$, quindi $c in S$ cioè $S$ è stabile. Inoltre ha senso considerare la struttura algebrica $S(cdot)$
2)(Quì sono un pò titubante) Posso considerare l'omomorfismo tra le due strutture algebriche $M_2(ZZ_4)(cdot)$ e $S(cdot)$ ossia
Per come è stata definita $F$ è suriettiva, allora dal primo teorema sull'omomorfismo si ha
l'elemento neutro $I_2$ di $M_2(ZZ_4)$ risulta $F(I_2)$ è elemento neutro di $S$,
l'operazione $cdot $ in $M_2(ZZ_4)$ è associativa, allora risulta essere tale anche in $S$.
Quindi questo prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
3)Sia $U(S)(cdot)={X in S:exists X^(-1)}={X in S: detX={-1,1}}$
In attesa di un riscontro, buona giornata.
Provare che l'insieme $S$ delle matrici quadrata dalla forma
\(\displaystyle\begin{vmatrix} x & 0 \\ z & v \end{vmatrix} \)
su $ZZ_4$ è stabile rispetto all'operazione $cdot$ in $M_2(ZZ_4)$ e che la struttura algebrica $S(cdot)$ è un semigruppo unitario. Determinare gli elementi invertibili di $S(cdot)$.Mi sono risposto così:
1) Per verificare la stabilità occorre provare $acdotb$ per ogni $a,b in S$, risulta
\(\displaystyle a \cdot b=\begin{vmatrix} x_1 & 0 \\ z_1 & v_1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} x_2 & 0 \\ z_2 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1x_2 & 0 \\ z_1x_2+v_1z_2 & v_1v_2 \end{vmatrix}=c \)
poiché gli elementi presenti nella matrice $c$, sono elementi di $ZZ_4$ e l'operazione $cdot$ è l'operazione di $ZZ_4$ ovvero è il prodotto di $ZZ_4$ tra classi di resto modulo $4$ per cui continua ad appartenere a $ZZ_4$, quindi $c in S$ cioè $S$ è stabile. Inoltre ha senso considerare la struttura algebrica $S(cdot)$
2)(Quì sono un pò titubante) Posso considerare l'omomorfismo tra le due strutture algebriche $M_2(ZZ_4)(cdot)$ e $S(cdot)$ ossia
\(\displaystyle F:A \in M_2(\mathbb{Z_4}) \to\ F(A)=\begin{cases} I_2, & \mbox{se }A=I_2 \\ B, & \mbox{se }A \ne I_2
\end{cases} \in S \)
\end{cases} \in S \)
Per come è stata definita $F$ è suriettiva, allora dal primo teorema sull'omomorfismo si ha
l'elemento neutro $I_2$ di $M_2(ZZ_4)$ risulta $F(I_2)$ è elemento neutro di $S$,
l'operazione $cdot $ in $M_2(ZZ_4)$ è associativa, allora risulta essere tale anche in $S$.
Quindi questo prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
3)Sia $U(S)(cdot)={X in S:exists X^(-1)}={X in S: detX={-1,1}}$
In attesa di un riscontro, buona giornata.
Risposte
Non capisco la mappa al secondo punto. \(S(\cdot)\) è un sottosemigruppo di \(M_2(\mathbb Z_4)\). Come per tutti i sotto-oggetti, un monomorfismo (l'inclusione) va dal sotto-oggetto all'oggetto che lo contiene.
Tu stai invece cercando di definire un epimorfismo che va da \(M_2(\mathbb Z_4)\) a \(S(\cdot)\). Mappa che non è neanche ben definita perché considera come caso particolare \(I_2\) (che appartiene al tuo sotto-semigruppo e non ha quindi bisogno di alcun trattamento particolare), ma non definisce qual è il valore di \(B\) per le altre matrici. Suppongo sia \(A\) con il valore in alto a destra uguale a zero. Stai insomma cercando di definire un semigruppo quoziente invece di un sotto-semigruppo come mi aspetterei in un esercizio di questo tipo. Tuttavia la mappa non è un morfismo di semigruppi siccome \(F(A) \cdot F(B) \neq F(A \cdot B)\) e quindi non può essere usata per stabilire se \(S\) è un semigruppo unitario come hai fatto.
Credo che gli altri punti siano in effetti corretti anche se scriverei \(-1\) e \(1\) come classi di resto essendo valori di \(\mathbb Z_4\) e non numeri interi o reali.
Tu stai invece cercando di definire un epimorfismo che va da \(M_2(\mathbb Z_4)\) a \(S(\cdot)\). Mappa che non è neanche ben definita perché considera come caso particolare \(I_2\) (che appartiene al tuo sotto-semigruppo e non ha quindi bisogno di alcun trattamento particolare), ma non definisce qual è il valore di \(B\) per le altre matrici. Suppongo sia \(A\) con il valore in alto a destra uguale a zero. Stai insomma cercando di definire un semigruppo quoziente invece di un sotto-semigruppo come mi aspetterei in un esercizio di questo tipo. Tuttavia la mappa non è un morfismo di semigruppi siccome \(F(A) \cdot F(B) \neq F(A \cdot B)\) e quindi non può essere usata per stabilire se \(S\) è un semigruppo unitario come hai fatto.
Credo che gli altri punti siano in effetti corretti anche se scriverei \(-1\) e \(1\) come classi di resto essendo valori di \(\mathbb Z_4\) e non numeri interi o reali.
Ciao apatriarca, mi rileggo la teoria e rispondo. Grazie per il momento.
Per provare che $S$ è un semigruppo basta fare i conti, i.e. basta provare che vale la proprietà associativa $(a*b)*c=a*(b*c)$ per ogni $a,b,c in S$.
"gugo82":
Per provare che $ S $ è un semigruppo basta fare i conti $ (a*b)*c=a*(b*c) $ per ogni $ a,b,c in S $.
quindi si potrebbe commentare osservando la risposta in 1) dato che $a, b in S$ risulta $acdotb in S$, alla fine si dovrebbe far osservare solo il fatto che $S$ ammetta lo stesso elemento neutro di $M_2(Z_4)$, per cui si prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
Giusto ?
"Pasquale 90":
[quote="gugo82"]Per provare che $ S $ è un semigruppo basta fare i conti $ (a*b)*c=a*(b*c) $ per ogni $ a,b,c in S $.
quindi si potrebbe commentare osservando la risposta in 1) dato che $a, b in S$ risulta $acdotb in S$, alla fine si dovrebbe far osservare solo il fatto che $S$ ammetta lo stesso elemento neutro di $M_2(Z_4)$, per cui si prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
Giusto ?[/quote]
Questo che hai scritto non c'entra nulla col problema della associatività, te ne rendi conto?
@gugo82: Sono un po' arrugginito in queste cose, ma l'associatività non deriva automaticamente dal fatto che il sotto-insieme è chiuso rispetto a questa operazione associativa (nel semigruppo che lo contiene)? Nel caso generale è necessario fare un test per l'associatività ma qui mi sembra più semplice far vedere che è un sotto-semigruppo di \(M_2(\mathbb Z_4)\)
@ apatriarca: Se sei arrugiinito tu, figurati io... 
Ad ogni modo, probabilmente no.
Però qualche algebrista di passaggio potrebbe dirimere la questione.
Ad ogni modo, probabilmente no.
Però qualche algebrista di passaggio potrebbe dirimere la questione.
1) Considerato \(\displaystyle S\) come sottoinsieme di \(\displaystyle M_2^2(\mathbb{Z}_4)\), e con l'usuale operazione di prodotto: una volta dimostrato che questi è stabile, e che possiede la matrice identità, hai concluso che questi è un monoide (ovvero è un semigruppo unitario).
2) Non ho capìto nulla!
3) Perfetto!
2) Non ho capìto nulla!
3) Perfetto!
Buongiorno,
allora considero \(\displaystyle I_2=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \) dobbiamo far vedere $xcdotI_2=I_2cdotx=x$ con $x in S$ infatti,
\(\displaystyle x\cdot I_2=\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a \cdot 1 + 0 \cdot 0 & a \cdot 0+0 \cdot 1 \\ b \cdot 1 + c \cdot 0 & b \cdot 0+c \cdot 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a \cdot 1 & 0 \\ b \cdot 1 & c \cdot 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 \cdot a & 0 \\ 1 \cdot b & 1 \cdot c \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix}=I_2 \cdot x =x \)
invece $cdot$ è associativa poichè è l'operazione indotta.
Invece il secondo punto volevo sfruttare il fatto che le proprietà di una struttura algebrica si conservano per gli epimorfismi, ma forse ho sbagliato ad impostare la facenda
allora considero \(\displaystyle I_2=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \) dobbiamo far vedere $xcdotI_2=I_2cdotx=x$ con $x in S$ infatti,
\(\displaystyle x\cdot I_2=\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a \cdot 1 + 0 \cdot 0 & a \cdot 0+0 \cdot 1 \\ b \cdot 1 + c \cdot 0 & b \cdot 0+c \cdot 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a \cdot 1 & 0 \\ b \cdot 1 & c \cdot 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 \cdot a & 0 \\ 1 \cdot b & 1 \cdot c \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix}=I_2 \cdot x =x \)
invece $cdot$ è associativa poichè è l'operazione indotta.
Invece il secondo punto volevo sfruttare il fatto che le proprietà di una struttura algebrica si conservano per gli epimorfismi, ma forse ho sbagliato ad impostare la facenda
1) Veramente bastava far vedere che \(\displaystyle I_2^2\in S\)... 
2) Non hai definito \(\displaystyle B\), e seppure lo avessi fatto: \(\displaystyle F\) non sarebbe un morfismo; perché?
2) Non hai definito \(\displaystyle B\), e seppure lo avessi fatto: \(\displaystyle F\) non sarebbe un morfismo; perché?
1) Devo ancora prendere domistichezza con questi concetti.
2) La $B$ era la matrice $A$ di ordine due a elementi su $ZZ_4$ ma con entrata di posto $2,2$ nulla.
In generale per provare che $H$ è un monomorifsmo tra due strutture algebriche $S(omega_1)$ e $S(omega_2)$ se presi qualunque $x,\ y \ in S$ si verifica $S(x\omega_1\y)=S(x)\omega_2\S(y)$;
Quindi \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [3]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle A\cdot A'=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix}=A \),
\(\displaystyle F(A)=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [3]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle F(A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [0]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle F(A) \cdot F(A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [3]_4 & [0]_4 \end{vmatrix} \), invece, \(\displaystyle F(A \cdot A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \),
quindi si è provato che $F$ non è un omorfismo.
Cosi?
2) La $B$ era la matrice $A$ di ordine due a elementi su $ZZ_4$ ma con entrata di posto $2,2$ nulla.
In generale per provare che $H$ è un monomorifsmo tra due strutture algebriche $S(omega_1)$ e $S(omega_2)$ se presi qualunque $x,\ y \ in S$ si verifica $S(x\omega_1\y)=S(x)\omega_2\S(y)$;
Quindi \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [3]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle A=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle A\cdot A'=\begin{vmatrix} [1]_4 & [2]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix}=A \),
\(\displaystyle F(A)=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [3]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \), \(\displaystyle F(A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [0]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \),
\(\displaystyle F(A) \cdot F(A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [3]_4 & [0]_4 \end{vmatrix} \), invece, \(\displaystyle F(A \cdot A')=\begin{vmatrix} [1]_4 & [0]_4 \\ [4]_4 & [2]_4 \end{vmatrix} \),
quindi si è provato che $F$ non è un omorfismo.
Cosi?
Penso di essere d'accordo...
"j18eos":
Penso di essere d'accordo...
Grazie
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