Esercizio sulle relazioni d'equivalenza
Salve a tutti, ho codesto esercizio da risolvere che mi crea non pochi problemi, anche perchè non so da che parte iniziare.
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Sia $G$ un gruppo abeliano. Si definisca
$a \sim b$ sta per $ EE g in G $ tale che $a=g^{3}b$.
Si dimostri che $\sim$ è una relazione di equivalenza su $G$. Si determini la classe di equivalenza di 1.
E' possibile affermare che $\sim$ è una congruenza su $G$? Se si, calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G//\sim$.
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale la relazione definita sopra non è una relazione di equivalenza.
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Se non erro devo innanzitutto dimostrare che $\sim$ è una rel di equivalenza, quindi vedere se è riflessiva, simmetrica e transitiva.. Ma anche qui son bloccato, c'è quel $g^{3}$ che mi intimorisce non poco e non saprei come gestirlo..
Ogni consiglio/suggerimento è ben accetto, grazie in anticipo per l'aiuto
[mod="Martino"]Sostituita la tilde col codice "\sim"[/mod]
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Sia $G$ un gruppo abeliano. Si definisca
$a \sim b$ sta per $ EE g in G $ tale che $a=g^{3}b$.
Si dimostri che $\sim$ è una relazione di equivalenza su $G$. Si determini la classe di equivalenza di 1.
E' possibile affermare che $\sim$ è una congruenza su $G$? Se si, calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G//\sim$.
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale la relazione definita sopra non è una relazione di equivalenza.
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Se non erro devo innanzitutto dimostrare che $\sim$ è una rel di equivalenza, quindi vedere se è riflessiva, simmetrica e transitiva.. Ma anche qui son bloccato, c'è quel $g^{3}$ che mi intimorisce non poco e non saprei come gestirlo..
Ogni consiglio/suggerimento è ben accetto, grazie in anticipo per l'aiuto
[mod="Martino"]Sostituita la tilde col codice "\sim"[/mod]
Risposte
Beh $g$ è un elemento qualsiasi del gruppo.
Le cose che ti interessano sapere per risolvere il primo punto è che $1 in G$ per definizione. Sai inoltre che $g^(-1) in G$ e che se $h,g in G$ allora $hg in G$...
Non ti serve altro!
Le cose che ti interessano sapere per risolvere il primo punto è che $1 in G$ per definizione. Sai inoltre che $g^(-1) in G$ e che se $h,g in G$ allora $hg in G$...
Non ti serve altro!
dunque:
Riflessiva: devo arrivare a dire $aRa$, quindi per $g=1$ risulta $a=1^{3}*a$ ed è dimostrato.
Simmetrica: $aRb$ vuol dire che $a=g^{3}b$, cioè $g^{-3}b=a$, quindi $bRa$
Transitiva: se $aRb$ e $bRc$ ho che $a=g^{3}b$ e $b=g^{3}c$, quindi $a=(gh)^{3}c$ e ho dimostrato $aRc$
per quanto riguarda la classe di equivalenza dell'1: devo trovare tutti gli $x in G$ tale che $1Rx$ o $xR1$ in quanto è simmetrica. Quindi ho $a=g^{3}*1$, quindi la classe di equivalenza dell'1 è data da tutti gli elementi $g^{3}$ al variare di $g$ in $G$.
Per quanto riguarda la congruenza ho un dubbio:
è congruente quando se ho $a \sim b$ e $c \sim d$ allora segue $ac \sim bd$.
Allora: $a=g^{3}b$, $c=g^{3}d$ => $ac = g^{3}cd$. Questo conto l'ho fatto seguendo un altro esempio simile d'esercizio trovato sempre su questo forum, ma il vostro gentilissimo collega mistake89 mi faceva notare come anzichè $ac = g^{3}cd$ dovrebbe risultare $ac = g^{6}cd$. Qui il dubbio: in questo altro thread QUI l'esercizio sulla verifica della congruenza viene risolto allo stesso modo, però senza sommare gli esponenti delle $h$ e $h^{-1}$ contenute nella formula.
Magari son io che erro, ma sta cosa non l'ho capita. Dove sta la verità?
Per quanto riguarda gli ordini del gruppo quoziente, come si fa a calcolarli? Da quanto ho capito una volta trovato che la relazione è una congruenza su $G$ mi si "apre" un mondo nuovo: quello in cui dati $[a]_\sim$ e $_\sim$ segue che $[ab]_\sim$, in pratica la regola della congruenza applicata alla classe d'equivalenza. Ma giunto a questo punto sono nuovamente bloccato.
Grazie mille
Riflessiva: devo arrivare a dire $aRa$, quindi per $g=1$ risulta $a=1^{3}*a$ ed è dimostrato.
Simmetrica: $aRb$ vuol dire che $a=g^{3}b$, cioè $g^{-3}b=a$, quindi $bRa$
Transitiva: se $aRb$ e $bRc$ ho che $a=g^{3}b$ e $b=g^{3}c$, quindi $a=(gh)^{3}c$ e ho dimostrato $aRc$
per quanto riguarda la classe di equivalenza dell'1: devo trovare tutti gli $x in G$ tale che $1Rx$ o $xR1$ in quanto è simmetrica. Quindi ho $a=g^{3}*1$, quindi la classe di equivalenza dell'1 è data da tutti gli elementi $g^{3}$ al variare di $g$ in $G$.
Per quanto riguarda la congruenza ho un dubbio:
è congruente quando se ho $a \sim b$ e $c \sim d$ allora segue $ac \sim bd$.
Allora: $a=g^{3}b$, $c=g^{3}d$ => $ac = g^{3}cd$. Questo conto l'ho fatto seguendo un altro esempio simile d'esercizio trovato sempre su questo forum, ma il vostro gentilissimo collega mistake89 mi faceva notare come anzichè $ac = g^{3}cd$ dovrebbe risultare $ac = g^{6}cd$. Qui il dubbio: in questo altro thread QUI l'esercizio sulla verifica della congruenza viene risolto allo stesso modo, però senza sommare gli esponenti delle $h$ e $h^{-1}$ contenute nella formula.
Magari son io che erro, ma sta cosa non l'ho capita. Dove sta la verità?
Per quanto riguarda gli ordini del gruppo quoziente, come si fa a calcolarli? Da quanto ho capito una volta trovato che la relazione è una congruenza su $G$ mi si "apre" un mondo nuovo: quello in cui dati $[a]_\sim$ e $_\sim$ segue che $[ab]_\sim$, in pratica la regola della congruenza applicata alla classe d'equivalenza. Ma giunto a questo punto sono nuovamente bloccato.
Grazie mille
"BeNdErR":
Simmetrica: $aRb$ vuol dire che $a=g^{3}b$, cioè $g^{-3}b=a$, quindi $bRa$
Più precisamente sarebbe $b=(g^(-1))^3a$.
"BeNdErR":
è congruente quando se ho $a \sim b$ e $c \sim d$ allora segue $ac \sim bd$.
Allora: $a=g^{3}b$, $c=g^{3}d$ => $ac = g^{3}cd$.
Non è proprio così, ma:
$a \sim b$ e $c \sim d$ implica che $EE g,h in G$ tali che $a=g^{3}b$ e $c=h^{3}d$ da cui tenendo presente che $G$ è un gruppo abeliano si ha: $ac = (gh)^{3}bd$
ottimo, adesso ha più senso. Però rimane il quesito, per quanto riguarda la congruenza, relativo all'altro thread. Era giusto?
@mod, @admin, @chiunque:
spesso e volentieri nei quote mi scompare il testo citato, cioè vedo i quote vuoti. Succede anche a voi? per far tornare il testo devo refreshare un po' di volte la pagina..
@mod, @admin, @chiunque:
spesso e volentieri nei quote mi scompare il testo citato, cioè vedo i quote vuoti. Succede anche a voi? per far tornare il testo devo refreshare un po' di volte la pagina..
"BeNdErR":
ottimo, adesso ha più senso. Però rimane il quesito, per quanto riguarda la congruenza, relativo all'altro thread. Era giusto?
A mio parere la relazione presente nell'altro thread non è una congruenza, potrebbe esserlo se si aggiungesse l'ipotesi che il gruppo sia abeliano.
"BeNdErR":
spesso e volentieri nei quote mi scompare il testo citato, cioè vedo i quote vuoti. Succede anche a voi? per far tornare il testo devo refreshare un po' di volte la pagina..
è anche un mio problema
@BeNdErR & deserto: Il testo dai messaggi citati sparisce quando ci sono problemi con la codifica delle formule (di solito non capita mai con citazioni di puro testo).
Questo problema lo stiamo sperimentando da un po' (prima non succedeva nulla del genere); soluzioni in vista niente per ora, ma alcune soluzioni empiriche sono descritte qui.
Per la questione congruenza sì/congruenza no, basta tener presente la definizione di congruenza.
E, poi, se [tex]$G$[/tex] non è abeliano cosa cambia? Basta riflettere un po' sulla dimostrazione.
Questo problema lo stiamo sperimentando da un po' (prima non succedeva nulla del genere); soluzioni in vista niente per ora, ma alcune soluzioni empiriche sono descritte qui.
Per la questione congruenza sì/congruenza no, basta tener presente la definizione di congruenza.
E, poi, se [tex]$G$[/tex] non è abeliano cosa cambia? Basta riflettere un po' sulla dimostrazione.
Espongo il mio dubbio
La relazione è definita come $a_1 \sim b_1$ se $EE h in H$ tale che $b_1=ha_1h^(-1)$.
Pertanto presi altri elementi di $G$: $a_2,b_2$ si avrà: $a_2 \sim b_2$ se $EE k in H$ tale che $b_2=ka_2k^(-1)$.
Si dovrebbe verificare che allora $a_1a_2 \sim b_1b_2$.
Da quanto scritto sopra si ha:
$b_1b_2=ha_1h^(-1)ka_2k^(-1)$
Ora se $G$ è abeliano posso con rapidi passaggi avere $b_1b_2=(hk)a_1a_2(hk)^(-1)$ e quindi $EE t in H$ tale che $b_1b_2=ta_1a_2t^(-1)$ prendendo $t=hk$.
Ma se $G$ non è abeliano?
La relazione è definita come $a_1 \sim b_1$ se $EE h in H$ tale che $b_1=ha_1h^(-1)$.
Pertanto presi altri elementi di $G$: $a_2,b_2$ si avrà: $a_2 \sim b_2$ se $EE k in H$ tale che $b_2=ka_2k^(-1)$.
Si dovrebbe verificare che allora $a_1a_2 \sim b_1b_2$.
Da quanto scritto sopra si ha:
$b_1b_2=ha_1h^(-1)ka_2k^(-1)$
Ora se $G$ è abeliano posso con rapidi passaggi avere $b_1b_2=(hk)a_1a_2(hk)^(-1)$ e quindi $EE t in H$ tale che $b_1b_2=ta_1a_2t^(-1)$ prendendo $t=hk$.
Ma se $G$ non è abeliano?
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