Esercizio sulle relazioni
Ho questa relazione definita su $RR$: $x rho y <=>x-2y=3$. Si vede subito che non è riflessiva né simmetrica (per valutare la simmetria, se ho delle relazioni $rho sube R x R$, vedo se, dato un punto appartenente alla relazione, anche il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante appartiene alla relazione).
Per definizione si ha l'antisimmetria se $AA x,y$, $x rho y ^^ y rho x=>x=y$. A me sembra antisimmetrica soltanto perché l'ipotesi è sempre falsa: si tratta di una retta, il simmetrico rispetto alla bisettrice non c'è mai.
Per definizione si ha la transitività se $AA x,y,z, x rho y ^^ y rho z => x rho z$. Banalmente non è transitiva perché la relazione è una funzione e in particolare è biiettiva (ad es nella relazione ci sono $(8, 2.5), (2.5, -0.25)$ ma non c'è $(8, -0.25)$.
Lo svolgimento dell'esercizio è corretto?
Grazie in anticipo!
Per definizione si ha l'antisimmetria se $AA x,y$, $x rho y ^^ y rho x=>x=y$. A me sembra antisimmetrica soltanto perché l'ipotesi è sempre falsa: si tratta di una retta, il simmetrico rispetto alla bisettrice non c'è mai.
Per definizione si ha la transitività se $AA x,y,z, x rho y ^^ y rho z => x rho z$. Banalmente non è transitiva perché la relazione è una funzione e in particolare è biiettiva (ad es nella relazione ci sono $(8, 2.5), (2.5, -0.25)$ ma non c'è $(8, -0.25)$.
Lo svolgimento dell'esercizio è corretto?
Grazie in anticipo!
Risposte
Considero quest'altra relazione un po' meno banale: $x rho y <=> x+y<=2 ^^ x^2+y^2<=16$. Si vede subito che questa è riflessiva e simmetrica, ma come faccio a valutarne la transitività?
Perché è riflessiva?
"HowardRoark":
Considero quest'altra relazione un po' meno banale: $x rho y <=> x+y<=2 ^^ x^2+y^2<=16$. Si vede subito che questa è riflessiva e simmetrica, ma come faccio a valutarne la transitività?
Dovresti valutare la transitività prima di $x + y <= 2$ e poi di $x^2 + y^2 <= 16$. Se entrambe risulteranno transitive avrai dimostrato la transitività.
"ghira":
Perché è riflessiva?
Forse non è riflessiva, perché essendo una relazione definita su tutto $RR$, affinché sia riflessiva, deve contenere tutta la bisettrice del primo e terzo quadrante (cioè ogni $x in RR$ deve essere in relazione con se stesso). Questa cosa mi confonde sempre.
Grazie per l'osservazione!
"DavidGnomo":
Dovresti valutare la transitività prima di $x + y <= 2$ e poi di $x^2 + y^2 <= 16$. Se entrambe risulteranno transitive avrai dimostrato la transitività.
Questa sera provo a farlo, grazie mille!
Alla fine anche quest'altra relazione era banale perché non era transitiva. Diciamo che io cerco sempre di dedurre una proprietà in generale, e quindi speravo di capire la non transitività di questa senza fare controesempi, anche se in questo caso bastavano questi. Magari mi cerco qualche esercizio in cui una relazione è transitiva e devo dimostrarlo, penso sia didatticamente più utile come cosa.
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