Esercizio sulle relazioni

[5y5t3m]

Ciao a tutti,
ho trovato questo esercizio:
"Una relazione definita su un insieme A può essere sia riflessiva che antiriflessiva?"
Come dimostro che solo il vuoto può rispettare queste proprietà (non dovrebbe essere data per definizione un'affermazione del genere)?

Grazie.

[solaàl]

Quanti insiemi conosci che soddisfano sia la proprietà \(P\) che la proprietà \(\lnot P\)?

[5y5t3m]

"solaàl":Quanti insiemi conosci che soddisfano sia la proprietà \(P\) che la proprietà \(\lnot P\)?

L'insieme vuoto? Ma per definizione è così o c'è una dimostrazione dietro?

[solaàl]

In un certo senso, per definizione, sì.

[5y5t3m]

"solaàl":In un certo senso, per definizione, sì.

Perfetto era la risposta che attendevo
Quindi di conseguenza vale anche per la proprietà simmetrica e antisimmetrica?

[G.D.5]

Una relazione \( R \) in un insieme \( X \) è riflessiva se e solo se \( \forall x \in X, xRx \), che è un modo compatto di scrivere \( \forall x ( x \in X \implies xRx ) \). A sua volta \( xRx \) è un modo compatto di scrivere \( (x,x) \in R \), essendo \( R \subseteq X \times X \).

A questo punto se \( X = \varnothing \), allora \( R = \varnothing \) e l'implicazione \( x \in X \implies xRx \) è banalmente vera perché è falso l'antecedente ed è falso il conseguente e questo qualunque sia \( x \), sicché \( R = \varnothing \) è riflessiva su \( \varnothing \).

Per lo stesso motivo se \( X = \varnothing \), allora \( R \) (che è sempre l'insieme vuoto) è anche antiriflessiva.

Del resto se \( X \ne \varnothing \), per le \( x \in X \) per le quali \( xRx \) non può essere anche \( \neg ( xRx ) \) per il principio del terzo escluso, sicché se \( R \) è riflessiva, allora non può essere antiriflessiva e viceversa.