Esercizio sulle relazioni
Ciao a tutti,
ho questo esercizio.
Sia \(\displaystyle A= \{ 2, \frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{3}{2},-\frac{2}{3},-3 \} \) e si consideri la relazione \(\displaystyle \mathcal{R}\) in \(\displaystyle A\) data da \(\displaystyle a \mathcal {R} b \) se \(\displaystyle -\frac{a}{b} \in \mathbb{N} \). Dire se \(\displaystyle \mathcal{R}\) rappresenta una funzione iniettiva da \(\displaystyle A\) in sè, giustificando la risposta.
Come si risolve?
ho questo esercizio.
Sia \(\displaystyle A= \{ 2, \frac{2}{3},-\frac{3}{2},\frac{3}{2},-\frac{2}{3},-3 \} \) e si consideri la relazione \(\displaystyle \mathcal{R}\) in \(\displaystyle A\) data da \(\displaystyle a \mathcal {R} b \) se \(\displaystyle -\frac{a}{b} \in \mathbb{N} \). Dire se \(\displaystyle \mathcal{R}\) rappresenta una funzione iniettiva da \(\displaystyle A\) in sè, giustificando la risposta.
Come si risolve?
Risposte
Innanzitutto devi verificare se la relazione \( \mathcal{R} \) è una funzione, dopo devi verificare se essa è iniettiva.
Il modo più semplice di procedere è vedendo la relazione e quindi la funzione come insiemi. \( \mathcal{R} \) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( A \times A \) ed è una funzione se questo sottoinsieme ha una precisa proprietà, che è quella che definisce il concetto di funzione, ovvero che per ogni elemento di \( A \) vi sia in \( \mathcal{R} \) una ed una sola coppia ordinata di prima coordinata quell'elemento. Se la relazione risulta una funzione, verifichi poi se è iniettiva, cosa che accade se le seconde coordinate non si ripetono tra le varie coppie.
Il modo più semplice di procedere è vedendo la relazione e quindi la funzione come insiemi. \( \mathcal{R} \) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( A \times A \) ed è una funzione se questo sottoinsieme ha una precisa proprietà, che è quella che definisce il concetto di funzione, ovvero che per ogni elemento di \( A \) vi sia in \( \mathcal{R} \) una ed una sola coppia ordinata di prima coordinata quell'elemento. Se la relazione risulta una funzione, verifichi poi se è iniettiva, cosa che accade se le seconde coordinate non si ripetono tra le varie coppie.
Una definizione di relazione dice che una relazione sull'insieme $A$ è un qualsiasi sottoinsieme di $A xx A$.
Una funzione è una relazione con particolari condizioni.
Quindi inizia a trovare la relazione ovvero il sottoinsieme $A xx A$ che soddisfa la richiesta.
E poi verifica se questo sottoinsieme è compatibile con le caratteristiche che deve avere per essere considerato una funzione.
Cordialmente, Alex
Una funzione è una relazione con particolari condizioni.
Quindi inizia a trovare la relazione ovvero il sottoinsieme $A xx A$ che soddisfa la richiesta.
E poi verifica se questo sottoinsieme è compatibile con le caratteristiche che deve avere per essere considerato una funzione.
Cordialmente, Alex
Allora ho provato così.
La relazione \(\displaystyle \mathcal{R}\subseteq A \times A \) è una funzione poiché è sempre possibile associare un elemento \(\displaystyle a \in A \) con un elemento \(\displaystyle b \in A \) t.c. \(\displaystyle -\frac{a}{b}\in \mathbb{N} \).
La funzione però non è iniettiva perché \(\displaystyle -3 \) e \(\displaystyle -\frac{3}{2} \) puntano entrambi a \(\displaystyle \frac{3}{2} \).
Il ragionamento è corretto?
La relazione \(\displaystyle \mathcal{R}\subseteq A \times A \) è una funzione poiché è sempre possibile associare un elemento \(\displaystyle a \in A \) con un elemento \(\displaystyle b \in A \) t.c. \(\displaystyle -\frac{a}{b}\in \mathbb{N} \).
La funzione però non è iniettiva perché \(\displaystyle -3 \) e \(\displaystyle -\frac{3}{2} \) puntano entrambi a \(\displaystyle \frac{3}{2} \).
Il ragionamento è corretto?
Però serve che il secondo \( \displaystyle - \frac{2}{3} \) sia \( \displaystyle \frac{2}{3} \). Errore di battitura?
"G.D.":
Però serve che il secondo \( \displaystyle - \frac{2}{3} \) sia \( \displaystyle \frac{2}{3} \). Errore di battitura?
Si scusa. Correggo il messaggio iniziale?
In questo caso sì.
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