Esercizio sulle permutazioni
Buonasera, vi chiedo gentilmente aiuto riguardo il seguente esercizio:
Sia $\sigma\ in\ S_3$ la permutazione definita da:
$\sigma=((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13),(5, 10, 2, 13, 4, 11, 9, 12, 6, 3, 1, 8, 7))$
(1) Scrivere $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti. Determinarne ordine e parità.
(2) Determinare l'ordine di ogni sottogruppo di $<\sigma>$, specificando quanti sottogruppi esistono di un determinato ordine. Per ciascun sottogruppo, determinare un generatore.
(1) il prodotto in cicli disgiunti è $\sigma=(1, 5, 4, 13, 7, 9, 6, 11)(2, 10, 3)(8, 12)$. L'ordine è 24 e la parità è -1.
(2) $<\sigma>$ è un gruppo ciclico di ordine 24. Come è noto, ogni sottogruppo di un ciclico è ciclico e inoltre per ogni divisore dell'ordine del gruppo abbiamo almeno un sottogruppo di quell'ordine. A questo punto non so come capire quanti sottogruppi di un determinato ordine ci sono.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Sia $\sigma\ in\ S_3$ la permutazione definita da:
$\sigma=((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13),(5, 10, 2, 13, 4, 11, 9, 12, 6, 3, 1, 8, 7))$
(1) Scrivere $\sigma$ come prodotto di cicli disgiunti. Determinarne ordine e parità.
(2) Determinare l'ordine di ogni sottogruppo di $<\sigma>$, specificando quanti sottogruppi esistono di un determinato ordine. Per ciascun sottogruppo, determinare un generatore.
(1) il prodotto in cicli disgiunti è $\sigma=(1, 5, 4, 13, 7, 9, 6, 11)(2, 10, 3)(8, 12)$. L'ordine è 24 e la parità è -1.
(2) $<\sigma>$ è un gruppo ciclico di ordine 24. Come è noto, ogni sottogruppo di un ciclico è ciclico e inoltre per ogni divisore dell'ordine del gruppo abbiamo almeno un sottogruppo di quell'ordine. A questo punto non so come capire quanti sottogruppi di un determinato ordine ci sono.
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Ciao posso esserti utile. Innanzi tutto la parità é 1 in quanto la permutazione é pari.
Poi per i secondo punto consideri i divisori dell’ordine della permutazione , quindi i divisori di 24 .
C’è un lemma o comunque una proposizione che afferma: un gruppo ciclico finito di ordine n contiene uno e un solo sottogruppo di ordine m per ogni divisore m di n.
Quindi per ogni divisore di 24 esiste un solo sottogruppo.
Poi per i secondo punto consideri i divisori dell’ordine della permutazione , quindi i divisori di 24 .
C’è un lemma o comunque una proposizione che afferma: un gruppo ciclico finito di ordine n contiene uno e un solo sottogruppo di ordine m per ogni divisore m di n.
Quindi per ogni divisore di 24 esiste un solo sottogruppo.
"SaraC1234":
Ciao posso esserti utile. Innanzi tutto la parità é 1 in quanto la permutazione é pari.
Verissimo, ho commesso un errore.
"SaraC1234":
C’è un lemma o comunque una proposizione che afferma: un gruppo ciclico finito di ordine n contiene uno e un solo sottogruppo di ordine m per ogni divisore m di n
Ho trovato anche io questo lemma. Di fatti è proprio riguardo questo lemma che sono sorti i dubbi. Però a questo punto si tratta di un semplice trabocchetto..
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo