Esercizio sulle funzioni
Salve a tutti, ho letto diverse dispense e materiale in rete rigurado le relazioni e le funzioni ma non riesco a capire come risolvere questo esercizio, gentilmente qualcuno può spiegarmi come si risolve?
Preciso che non voglio la soluzione e basta voglio capire come ci si arriva.
Quante distinte funzioni $f:ZZ_10 rarr ZZ_12$ iniettive e tali che $f([1]_10)=[2]_12$ , $f([2]_10)= [3]_12$ , $f([3]_10)=[10]_12$ possono essere scritte?
Grazie mille
Preciso che non voglio la soluzione e basta voglio capire come ci si arriva.
Quante distinte funzioni $f:ZZ_10 rarr ZZ_12$ iniettive e tali che $f([1]_10)=[2]_12$ , $f([2]_10)= [3]_12$ , $f([3]_10)=[10]_12$ possono essere scritte?
Grazie mille
Risposte
Non ho ragionato bene al problema , potrei dire qualche fesseria.
Se $A$ è un insieme di cardinalità $n$ , $B$ uno di cardinalità $m$ ed $n<=m$. Quante funzioni $f: A->B$ sono iniettive?
Se $A$ è un insieme di cardinalità $n$ , $B$ uno di cardinalità $m$ ed $n<=m$. Quante funzioni $f: A->B$ sono iniettive?
ci saranno al massimo n funzioni iniettive da A a B, questo però lo avevo capito.
La cosa che mi manda in confusione è che nella traccia ci sono scritti esplicitamente i risultati che devono avere le distinte funzioni, è qui che mi perdo!
La cosa che mi manda in confusione è che nella traccia ci sono scritti esplicitamente i risultati che devono avere le distinte funzioni, è qui che mi perdo!
No , non ne hai semplicemente $n$.
Se $m=n$ ne hai $n!$, ad esempio.
Se $n>m$ nessuna.
Nel nostro caso$n<= m$ , si ha che il numero di funzioni iniettive è dato da $(n!)/((m-n)!)$
Ora te hai fissato 3 elementi sia in $ZZ_10$ che in $ZZ_13$ , in $ZZ_10$ ti restano dunque 7 elementi da associare agli altri 10 scoperti di $ZZ_13$ .
il problema a questo punto è chiedersi : " quante applicazioni iniettive ho tra un insieme $A$ di 7 elementi e uno di 10"?
La risposta è data da :
$(7!)/((10-7)!) = (7!)/(3!) =( (7*6*5)*3!)/(3!)= 210$
Se $m=n$ ne hai $n!$, ad esempio.
Se $n>m$ nessuna.
Nel nostro caso$n<= m$ , si ha che il numero di funzioni iniettive è dato da $(n!)/((m-n)!)$
Ora te hai fissato 3 elementi sia in $ZZ_10$ che in $ZZ_13$ , in $ZZ_10$ ti restano dunque 7 elementi da associare agli altri 10 scoperti di $ZZ_13$ .
il problema a questo punto è chiedersi : " quante applicazioni iniettive ho tra un insieme $A$ di 7 elementi e uno di 10"?
La risposta è data da :
$(7!)/((10-7)!) = (7!)/(3!) =( (7*6*5)*3!)/(3!)= 210$
ciao grazie mille per la risposta, mi fa piacere perchè ero sulla buona strada anche io, stavo proprio leggendo gli argomenti riguardanti permutazioni,disposizioni e combinazioni.
Scusami ma vorrei ancora dei chiarimenti, nell'esercizio parliamo di $ZZ_10 $ e $ZZ_12$ quindi l'insieme B avrebbe ancora 9 elementi e non 10, quindi avremo $\frac {7!}{(9-7)!}$ quindi $7*6*5*4*3$ = $2520$ e mi sembrano un po troppe le combinazioni.
Abbiamo sempre a che fare con funzioni iniettive, quindi ho 7 elelementi dell'insieme A e 9 elementi dell'isieme B, ora vanno prese tutte le coppie di 2 elementi di cui 1 elemento di A e 1 elelemento di B a questo punto ogni elemento di A può essere accoppiato al massimo a 9 elementi di B separatamente, quindi avremo che ogni elemento di A ha 9 possibilità di fare coppia con gli elementi di B, concludendo avrò $7*9 = 64$ possibili funzioni iniettive.
Ora a queste possibili funzioni vanno aggiunte le 3 che impone la traccia, quindi avrò un totale di 67 funzioni iniettive.
E' sbagliato il mio ragionamento? Se si perchè?
Scusami ma vorrei ancora dei chiarimenti, nell'esercizio parliamo di $ZZ_10 $ e $ZZ_12$ quindi l'insieme B avrebbe ancora 9 elementi e non 10, quindi avremo $\frac {7!}{(9-7)!}$ quindi $7*6*5*4*3$ = $2520$ e mi sembrano un po troppe le combinazioni.
Abbiamo sempre a che fare con funzioni iniettive, quindi ho 7 elelementi dell'insieme A e 9 elementi dell'isieme B, ora vanno prese tutte le coppie di 2 elementi di cui 1 elemento di A e 1 elelemento di B a questo punto ogni elemento di A può essere accoppiato al massimo a 9 elementi di B separatamente, quindi avremo che ogni elemento di A ha 9 possibilità di fare coppia con gli elementi di B, concludendo avrò $7*9 = 64$ possibili funzioni iniettive.
Ora a queste possibili funzioni vanno aggiunte le 3 che impone la traccia, quindi avrò un totale di 67 funzioni iniettive.
E' sbagliato il mio ragionamento? Se si perchè?
Ho l'impressione che tu abbia le idee un po' confuse.
In qualunque modo ho cercato di mettere la punteggiatura in questa frase, non sono riuscito a dargli un "senso matematico". Hai una funzione iniettiva da un insieme di 10 elementi in uno di 12 elementi. Per dare una funzione bisogna dire cosa fa su ogni elemento del dominio. Tre elementi sono già sistemati dal testo, quindi ti resta da contare le funzioni iniettive da un insieme di 7 elementi a uno di 9 elementi.
Partiamo dal primo elemento: lui ha $9$ possibilità.
Al secondo elemento ne restano $8$ (perché una è già occupata dal primo).
Al terzo ne restano $7$ (perché due sono già occupate dal primo e dal secondo).
...
All'immagine dell'ultimo (il settimo) elemento, restano $3$ possibilità.
In totale hai quindi
\[ \frac{9!}{(9-7)!} = 9 \cdot 8 \cdot ... \cdot 3 = 181440\]
funzioni iniettive [che così a occhio anche a me sembrano troppe, ma vabè]. Non chiamiamole combinazioni che sennò si fa confusione.
La formula che ha citato Kashaman non è corretta (infatti è decrescente in $m$). Il numero di funzioni iniettive da un insieme di $n$ elementi a uno con $m$ elementi con $m\ge n$ è
\[ \frac{m!}{(m-n)!} .\]
Questa si può dimostrare formalizzando l'argomento che ti ho dato io con un briciolo di principio di induzione.
Abbiamo sempre a che fare con funzioni iniettive, quindi ho 7 elelementi dell'insieme A e 9 elementi dell'isieme B, ora vanno prese tutte le coppie di 2 elementi di cui 1 elemento di A e 1 elelemento di B a questo punto ogni elemento di A può essere accoppiato al massimo a 9 elementi di B separatamente, quindi avremo che ogni elemento di A ha 9 possibilità di fare coppia con gli elementi di B, concludendo avrò 7⋅9=64 possibili funzioni iniettive.
In qualunque modo ho cercato di mettere la punteggiatura in questa frase, non sono riuscito a dargli un "senso matematico". Hai una funzione iniettiva da un insieme di 10 elementi in uno di 12 elementi. Per dare una funzione bisogna dire cosa fa su ogni elemento del dominio. Tre elementi sono già sistemati dal testo, quindi ti resta da contare le funzioni iniettive da un insieme di 7 elementi a uno di 9 elementi.
Partiamo dal primo elemento: lui ha $9$ possibilità.
Al secondo elemento ne restano $8$ (perché una è già occupata dal primo).
Al terzo ne restano $7$ (perché due sono già occupate dal primo e dal secondo).
...
All'immagine dell'ultimo (il settimo) elemento, restano $3$ possibilità.
In totale hai quindi
\[ \frac{9!}{(9-7)!} = 9 \cdot 8 \cdot ... \cdot 3 = 181440\]
funzioni iniettive [che così a occhio anche a me sembrano troppe, ma vabè]. Non chiamiamole combinazioni che sennò si fa confusione.
La formula che ha citato Kashaman non è corretta (infatti è decrescente in $m$). Il numero di funzioni iniettive da un insieme di $n$ elementi a uno con $m$ elementi con $m\ge n$ è
\[ \frac{m!}{(m-n)!} .\]
Questa si può dimostrare formalizzando l'argomento che ti ho dato io con un briciolo di principio di induzione.
grazie mille per la spiegazione ora è tutto chiaro, sbagliavo perchè non eliminavo gli elementi giù usati in B e quindi consideravo sempre B con 9 elementi.
Grazie ancora per l'aiuto a tutti.
Grazie ancora per l'aiuto a tutti.
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