Esercizio sulle equazioni diofantee

[Søren13]

Salve a tutti, è da stamattina che tento invano di risolvere questo esercizio:
Trova le soluzioni generali di questa equazione lineare diofantea 2072x+1813y = 2849.

Perchè abbia soluzioni intere 2072 e 1813 dovrebbero essere relativamente primi, ma l' MCD non è uno, ma 259. Suppongo che si possa divide a destra e sinistra per 259 e rimanere con la seguente equazione: 8x+7y=11. Da qui in poi non so proseguire, o meglio ho provato in molti modi diversi senza successo. Qualcuno sa come posso andare avanti?

[mazzarri1]

ciao Soren

Hai fatto benissimo a dividere ambo i membri per il fattore comune, non era facile da trovare

Adesso devi risolvere

***$8x+7y=11$

per prima cosa risolviamo $8x+7y=1$ e poi moltiplicheremo per $11$ il risultato

Ora devi fare così, devi esprimere il secondo membro come combinazione lineare dei coefficienti del primo membro... qui è molto semplice perchè

$1=8 (1) + 7 (-1)$

quindi una prima coppia di soluzioni parziali è $(1,-1)$ che porta, moltiplicata per $11$, ad avere la "prima" coppia definitiva $(11,-11)$

controlla nella ***, vedi che è corretta

Ora che ne abbiamo trovata una per trovare tutte le altre risolviamo la omogenea $8x+7y=0$ che ha per soluzione la coppia $(-7,8)$

Per avere la soluzione DEFINITIVA mettiamo assieme la prima coppia trovata e la soluzione della omogenea scrivendo infine

$[11+k(-7),-11+k(8)]$ con $k=0,+-1,+-2,+-3,..$

proviamone alcune...

1) $k=0$ hai $(11,-11)$
2) $k=1$ hai $(4,-3)$
3) $k=2$ hai $(-3,5)$
4) $k=-1$ hai $(18, -19)$

eccetera... hai tutte le coppie al variare di $k$

tutto chiaro???

[Søren13]

Oh, sì grazie. Allora era giusto quello che avevo fatto; anche io ero arrivata alla medesima soluzione, ma sul libro dà un risultato diverso: -3+7k e 5-8k ed è questo che mi blocca, non capisco se è un modo equivalente per esprimere la stessa soluzione o c'è un errore nel libro...

[mazzarri1]

"Søren":Oh, sì grazie. Allora era giusto quello che avevo fatto; anche io ero arrivata alla medesima soluzione, ma sul libro dà un risultato diverso: -3+7k e 5-8k ed è questo che mi blocca, non capisco se è un modo equivalente per esprimere la stessa soluzione o c'è un errore nel libro...

sono la stessa cosa... se guardi quello che ti ho scritto alla fine $(-3,5)$ è una delle "nostre" soluzioni e guarda un po' è la stessa che ottieni dal libro ponendo $k=0$... le altre anche coincidono... due risultati equivalenti