Esercizio sulle curve ellittiche
Buongiorno, vi chiedo gentilmente aiuto per il seguente esercizio:
Sia $E$ la curva ellittica di equazione $y^2=x^3+3$ sul campo $K=GF(29)$.
a) Si determini l'ordine di $E$;
b) Si definisca $E[n]$;
c) Si determini $E\cap E[9]$;
I miei problemi riguardano principalmente la domanda c).
Vi riporto lo svolgimento degli altri punti per conferma:
a) Conosco il seguente Teorema:
Sia $E(GF(q))$ la curva sul campo $GF(q)$ di caratteristica $p$ (ossia $q=p^r$ per qualche $r$). Allora se $q$ è un numero naturale dispari tale che $q\equiv 2 \mod 3$ si ha che la curva $E(GF(q))$ definita dall'equazione $y^2=x^3+B$ è supersingolare ogni volta che $B\in GF(q)^{*}$. Inoltre $|E(GF(q))|=q+1$.
Nel nostro caso $q=29$ è dispari e, per calcolo diretto, si ha che $29\equiv 2 \mod 3$. Dato che inoltre 3 è invertibile modulo 29 (poiché 3 è coprimo con 29), si ha che effettivamente la curva ellittica in esame è supersingolare e il suo ordine è $|E(GF(29))|=29+1=30$.
b) $E[n] = \{P\in E(\bar{K}) : nP = \infty\}$, ossia $E[n]$ è il nucleo dell'endomorfismo che associa a $P \in E(\bar{K})$ la quantità $nP = P+ ... + P$ n-volte.
c) So che la caratteristica di $GF(29)$ è 29 e questa non divide $n=9$. Pertanto so che $E[9] = C_9 \oplus C_9$, dove $C_9$ è il generico gruppo ciclico di 9 elementi. Ora a me verrebbe da dire che, poiché 9 non divide 30, l'intersezione è vuota. Però non sono molto convinto e vi chiedo questo: è corretto o sbaglio qualcosa?
Sia $E$ la curva ellittica di equazione $y^2=x^3+3$ sul campo $K=GF(29)$.
a) Si determini l'ordine di $E$;
b) Si definisca $E[n]$;
c) Si determini $E\cap E[9]$;
I miei problemi riguardano principalmente la domanda c).
Vi riporto lo svolgimento degli altri punti per conferma:
a) Conosco il seguente Teorema:
Sia $E(GF(q))$ la curva sul campo $GF(q)$ di caratteristica $p$ (ossia $q=p^r$ per qualche $r$). Allora se $q$ è un numero naturale dispari tale che $q\equiv 2 \mod 3$ si ha che la curva $E(GF(q))$ definita dall'equazione $y^2=x^3+B$ è supersingolare ogni volta che $B\in GF(q)^{*}$. Inoltre $|E(GF(q))|=q+1$.
Nel nostro caso $q=29$ è dispari e, per calcolo diretto, si ha che $29\equiv 2 \mod 3$. Dato che inoltre 3 è invertibile modulo 29 (poiché 3 è coprimo con 29), si ha che effettivamente la curva ellittica in esame è supersingolare e il suo ordine è $|E(GF(29))|=29+1=30$.
b) $E[n] = \{P\in E(\bar{K}) : nP = \infty\}$, ossia $E[n]$ è il nucleo dell'endomorfismo che associa a $P \in E(\bar{K})$ la quantità $nP = P+ ... + P$ n-volte.
c) So che la caratteristica di $GF(29)$ è 29 e questa non divide $n=9$. Pertanto so che $E[9] = C_9 \oplus C_9$, dove $C_9$ è il generico gruppo ciclico di 9 elementi. Ora a me verrebbe da dire che, poiché 9 non divide 30, l'intersezione è vuota. Però non sono molto convinto e vi chiedo questo: è corretto o sbaglio qualcosa?
Risposte
No è sbagliato, ma devo dire che le notazioni usate non aiutano. $E[9]$ sono i punti di $9$-torsione a coordinate in $\overline{\mathbb F}_{29}$, mentre qua $E$ sono i punti della curva a coordinate in $\mathbb F_{29}$. In genere quest'ultimo insieme si denota con $E(\mathbb F_{29})$, per evitare ambiguità. E' vero che quella curva è supersingolare ed è vero che ha $30$ punti. Questo tra l'altro lo vedi immediatamente perchè $3$ non divide $28$, quindi elevare al cubo è una biiezione di $\mathbb F_{29}$ in sè stesso.
Siccome $E(\mathbb F_{29})$ ha $30$ punti, ha solo 3 punti di $3$-torsione definiti su $\mathbb F_{29}$
Siccome $E(\mathbb F_{29})$ ha $30$ punti, ha solo 3 punti di $3$-torsione definiti su $\mathbb F_{29}$
"hydro":
Siccome $E(\mathbb F_{29})$ ha $30$ punti, ha solo 3 punti di $3$-torsione definiti su $\mathbb F_{29}$
Hai perfettamente ragione riguardo le notazioni. Ora credo di aver corretto.
Posso chiederti da cosa deduci l'ultima affermazione? Eventualmente anche un riferimento bibliografico (io uso "Elliptic Curves" di Washington, ma qui questa parte non è particolarmente approfondita).
Beh hai un gruppo abeliano di ordine $30$. Non ce ne sono tanti, no? Conosci il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti?
Io comunque consiglio sempre "The arithmetic of elliptic curves" di Silverman, a mio avviso il miglior posto dove imparare le basi.
Io comunque consiglio sempre "The arithmetic of elliptic curves" di Silverman, a mio avviso il miglior posto dove imparare le basi.
"hydro":
Beh hai un gruppo abeliano di ordine $30$. Non ce ne sono tanti, no? Conosci il teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti?
Cioè segue dal fatto che $30 = 2\cdot 3 \cdot 5$, dunque $E(\mathbb{F}_{29}) = C_2 \oplus C_3 \oplus C_5$.
Grazie per la dritta, do un occhiata anche al libro che mi hai consigliato
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