Esercizio sulla ciclicità dei gruppi
Salve a tutti,
sto cercando di svolgere quest'esercizio ma non riesco a a venirne a capo.
Allora, l'implicazione $G$ ciclico $\implies H, \frac{G}{H}$ ciclici è ovvia, infatti $H$ è sottogruppo di un ciclico e $\frac{G}{H}$ è quoziente di un ciclico, dunque sono entrambi ciclici.
E' l'implicazione opposta che mi da problemi, se $G$ è abeliano allora so che $H$ è normale in $G$ essendo suo sottogruppo quindi ha senso considerare il gruppo quoziente $\frac{G}{H}$, inoltre so che $(|H|, |\frac{G}{H}|)=1$ e sia $|H|$ che $|\frac{G}{H}|=\frac{|G|}{|H|}$ devono dividere $|G|$, ma questo cosa mi dice?
Cosa posso fare per mostrare che $G$ è ciclico?
Grazie mille per le future risposte
sto cercando di svolgere quest'esercizio ma non riesco a a venirne a capo.
Sia $G$ un gruppo abeliano finito, e sia $H$ un suo sottogruppo tale che $|H|$ sia coprimo con $|G : H|$
Provare che $G$ è ciclico se e solo se lo sono $H$ e $\frac{G}{H}$
Allora, l'implicazione $G$ ciclico $\implies H, \frac{G}{H}$ ciclici è ovvia, infatti $H$ è sottogruppo di un ciclico e $\frac{G}{H}$ è quoziente di un ciclico, dunque sono entrambi ciclici.
E' l'implicazione opposta che mi da problemi, se $G$ è abeliano allora so che $H$ è normale in $G$ essendo suo sottogruppo quindi ha senso considerare il gruppo quoziente $\frac{G}{H}$, inoltre so che $(|H|, |\frac{G}{H}|)=1$ e sia $|H|$ che $|\frac{G}{H}|=\frac{|G|}{|H|}$ devono dividere $|G|$, ma questo cosa mi dice?
Cosa posso fare per mostrare che $G$ è ciclico?
Grazie mille per le future risposte
Risposte
Scrivo $m=\#H$ e $n=\#G//H$.
Sia $x$ un generatore di $H$ e sia $y$ in $G$ un elemento con la
proprieta’ che la classe $\overline{y}$ di $y$ e’ un generatore di $G//H$.
Questo vuol dire che $\overline{y}$ ha ordine $n$ in $G//H$, ma non e’ detto che
$y$ ha ordine $n$ in $G$. Sai solo che l’ordine di $y$ e’ divisibile per $n$.
Considero invece $y^m$. Lagrange e il fatto che $mcd(n,m)=1$
implicano che $y^m$ ha ordine esattamente $n$.
Gli ordini di $x$ e $y^m$ sono quindi coprimi ($m$ e $n$). Poiche' $G$
e’ abeliano, l'elemento $xy^m$ ha ordine uguale al prodotto $nm$.
Sia $x$ un generatore di $H$ e sia $y$ in $G$ un elemento con la
proprieta’ che la classe $\overline{y}$ di $y$ e’ un generatore di $G//H$.
Questo vuol dire che $\overline{y}$ ha ordine $n$ in $G//H$, ma non e’ detto che
$y$ ha ordine $n$ in $G$. Sai solo che l’ordine di $y$ e’ divisibile per $n$.
Considero invece $y^m$. Lagrange e il fatto che $mcd(n,m)=1$
implicano che $y^m$ ha ordine esattamente $n$.
Gli ordini di $x$ e $y^m$ sono quindi coprimi ($m$ e $n$). Poiche' $G$
e’ abeliano, l'elemento $xy^m$ ha ordine uguale al prodotto $nm$.
Ok, credo di aver capito quello che scrivi però non mi torna lo stesso l'ultimo passaggio, tu dici che quindi così so che esiste un elemento $xy^{m}$ con ordine $nm$ e sono d'accordo. Inoltre so che $$ è un sottogruppo ciclico di G con ordine $nm$.
E a questo punto suppongo che per concludere tu dia per scontato che $|G| = nm$, però io non riesco a capire perché è così.
Forse mi sto perdendo in qualche stupidata io eh.
E a questo punto suppongo che per concludere tu dia per scontato che $|G| = nm$, però io non riesco a capire perché è così.
Forse mi sto perdendo in qualche stupidata io eh.
$n = \#G//H=\#G//\#H =\#G//m$.
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