Esercizio sul sottogruppo dei commutatori
ciao a tutti... qualcuno mi potrebbe aiutare con questo esercizio:
Dimostrare che il gruppo simmetrico $ S_3$ non può essere sottogruppo dei commutatori di nessun gruppo.
Io intendevo dimostrarlo per assurdo affermando che se $ S_3$ è sottogruppo dei commutatori di un altro gruppo allora una permutazione $ f$ di $S_3$ può essere scritta come composizione di altre due applicazioni di un altro generico gruppo. Chiamate $ h $ e $g$ queste due applicazioni allora devo dimostrare che $ f=ghg^(-1)h^(-1)$ e cioè che preso $x = 1,2,3$ le immagini coincidono sia su $f$ che su $ghg^(-1)h^(-1)$ però come arrivare ad un assurdo??
grazie dell'aiuto!
Dimostrare che il gruppo simmetrico $ S_3$ non può essere sottogruppo dei commutatori di nessun gruppo.
Io intendevo dimostrarlo per assurdo affermando che se $ S_3$ è sottogruppo dei commutatori di un altro gruppo allora una permutazione $ f$ di $S_3$ può essere scritta come composizione di altre due applicazioni di un altro generico gruppo. Chiamate $ h $ e $g$ queste due applicazioni allora devo dimostrare che $ f=ghg^(-1)h^(-1)$ e cioè che preso $x = 1,2,3$ le immagini coincidono sia su $f$ che su $ghg^(-1)h^(-1)$ però come arrivare ad un assurdo??
grazie dell'aiuto!
Risposte
Non è immediato come esercizio. Ti dò delle idee, poi cerca di pensarci bene tu.
Ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato (sottogruppo dei commutatori) di un gruppo [tex]G[/tex]: si tratta dell'intersezione dei sottogruppi normali [tex]N[/tex] di [tex]G[/tex] tali che [tex]G/N[/tex] è abeliano. Si indica con [tex]G'[/tex]. A partire da questa definizione si dimostra che [tex]G/G'[/tex] è abeliano.
Ora nel tuo caso [tex]G'=S_3[/tex]. Il fatto che devi usare è il seguente: gli automorfismi di [tex]S_3[/tex] sono tutti interni, in altre parole [tex]\text{Aut}(S_3) \cong S_3[/tex]. Probabilmente lo sapevi già.
Poiché [tex]G' \unlhd G[/tex] l'azione di coniugio induce un omomorfismo [tex]G \to \text{Aut}(G') \cong S_3[/tex], che è suriettivo (perché?). Considera la proiezione canonica [tex]S_3 \to S_3/A_3[/tex]. Ora componi:
[tex]G \to \text{Aut}(S_3) \cong S_3 \to S_3/A_3 \cong C_2[/tex].
Cosa puoi dire del nucleo della mappa (suriettiva) risultante [tex]G \to C_2[/tex]?
Nel rispondere a questa domanda ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato.
Ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato (sottogruppo dei commutatori) di un gruppo [tex]G[/tex]: si tratta dell'intersezione dei sottogruppi normali [tex]N[/tex] di [tex]G[/tex] tali che [tex]G/N[/tex] è abeliano. Si indica con [tex]G'[/tex]. A partire da questa definizione si dimostra che [tex]G/G'[/tex] è abeliano.
Ora nel tuo caso [tex]G'=S_3[/tex]. Il fatto che devi usare è il seguente: gli automorfismi di [tex]S_3[/tex] sono tutti interni, in altre parole [tex]\text{Aut}(S_3) \cong S_3[/tex]. Probabilmente lo sapevi già.
Poiché [tex]G' \unlhd G[/tex] l'azione di coniugio induce un omomorfismo [tex]G \to \text{Aut}(G') \cong S_3[/tex], che è suriettivo (perché?). Considera la proiezione canonica [tex]S_3 \to S_3/A_3[/tex]. Ora componi:
[tex]G \to \text{Aut}(S_3) \cong S_3 \to S_3/A_3 \cong C_2[/tex].
Cosa puoi dire del nucleo della mappa (suriettiva) risultante [tex]G \to C_2[/tex]?
Nel rispondere a questa domanda ricorda la proprietà universale del sottogruppo derivato.
Mi vergogno a scriverlo ma non ho capito come utilizzare il tuo suggerimento per risolvere il problema!
come arrivo alla soluzione utilizzando gli $Aut(S_3)$? non riesco ad immaginare un punto d'arriivo.. scusa ma ho il vuoto totale!
Grazie mille!!
come arrivo alla soluzione utilizzando gli $Aut(S_3)$? non riesco ad immaginare un punto d'arriivo.. scusa ma ho il vuoto totale!
Grazie mille!!
Sono arrivato a costruire un omomorfismo [tex]G \to C_2[/tex], ora prendi il nucleo e chiamalo [tex]N[/tex]. Siccome [tex]G/N \cong C_2[/tex] è abeliano, per la proprietà universale di cui sopra si deve avere [tex]G' \subseteq N[/tex]. Ma questo è assurdo perché per costruzione la restrizione di [tex]G \to C_2[/tex] a [tex]G'[/tex] è suriettiva.
E' un esercizio impegnativo, rifletti bene sulle idee che ti ho dato ti prego.
E' un esercizio impegnativo, rifletti bene sulle idee che ti ho dato ti prego.
Salve @martino.. ho trovato il tempo di riflettere anche su questo esercizio ed ecco cosa ho concluso. Ipotizzo per assurdo che $G'=S_3$ per qualche gruppo $G$. Allora per tutto quello che hai scritto arrivo a costruirmi un omomorfismo $\phi:G -> C_2$ suriettivo. Ho trovato che $ker(\phi)=A_3$ quindi per il teorema dell'omomorfismo $ G/A_3 $è isomorfo a$ C_2 $ ma allora $S_3 sube A_3 $ il che è assurdo. Quindi l'ipotesi che $G'=S_3$ è falsa ed ho concluso. Giusto??
No è sbagliato, rileggi meglio. Il nucleo della tua mappa [tex]\phi:G \to C_2[/tex] non è [tex]A_3[/tex].
Se chiamo $f : G-> Aut(S_3)$ e $\pi:S_3->S_3/(A_3)$ allora l'omomorfismo suriettivo $\phi:G->S_3/(A_3)$ è $\phi=\pi@f$ quindi $ker(\phi)=(g in G| (\pi@f)(g)=e)=(g in G|(\pi)(\sigma_g) in A_3)$ quindi sarebbero tutti gli elementi $g in G$ tali che $sg(\sigma_g)$ è pari. Giusto?? però come faccio a trovarmi questi $g$??
Hai letto questo?
"Martino":Qui c'è tutto. Non saprei scriverlo meglio.
Sono arrivato a costruire un omomorfismo [tex]G \to C_2[/tex], ora prendi il nucleo e chiamalo [tex]N[/tex]. Siccome [tex]G/N \cong C_2[/tex] è abeliano, per la proprietà universale di cui sopra si deve avere [tex]G' \subseteq N[/tex]. Ma questo è assurdo perché per costruzione la restrizione di [tex]G \to C_2[/tex] a [tex]G'[/tex] è suriettiva.
vediamo se finalmente ho capito! Se affermo che $G' sube N$ allora vuol dire che $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$ per la proprietà universale del sottogruppo derivato. Ma questo è un assurdo poiché $\phi_(|G'):G'->C_2$ è suriettiva e allora $(G')/(ker\phi_(|G'))$ è isomorfo a $C_2$ quindi anche $G' sube ker\phi_(|G') $ e allora $N$ non è il più piccolo sottogruppo normale di G$$. Arrivo dunque ad un assurdo e allora ho la tesi. é corretto ??
Grazie della pazienza!!
Grazie della pazienza!!
No è sbagliato,
"studentessa CdLmate":Questo è falso. Rileggi meglio quello che ho scritto, c'è tutto.
Se affermo che $G' sube N$ allora vuol dire che $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di $G$
se dico che $G' sube N$ allora quando vado a considerare la restrizione a $G'$ di $f:G->C_2$ ogni elemento di $G'$ mi va a finire nell'elemento neutro di $C_2$ quindi $f_(|G')$ non è suriettiva come dev'essere per costruzione dato che $G'=S_3$ nel nostro caso. Giusto?? 
Sì è giusto.
In generale lo stesso argomento dimostra che se [tex]X[/tex] è un gruppo tale che:
- l'azione di coniugio [tex]X \to \text{Aut}(X)[/tex] è un isomorfismo, e
- [tex]X' \neq X[/tex], cioè [tex]X[/tex] non è perfetto,
allora nessun gruppo ha [tex]X[/tex] come sottogruppo derivato.
In generale lo stesso argomento dimostra che se [tex]X[/tex] è un gruppo tale che:
- l'azione di coniugio [tex]X \to \text{Aut}(X)[/tex] è un isomorfismo, e
- [tex]X' \neq X[/tex], cioè [tex]X[/tex] non è perfetto,
allora nessun gruppo ha [tex]X[/tex] come sottogruppo derivato.
$Aut(S_n) \cong S_n$ per ogni $n$?
"makako":No, per ogni [tex]n[/tex] tranne [tex]2[/tex] e [tex]6[/tex]. Vedi qui (1) e qui (2).
$Aut(S_n) \cong S_n$ per ogni $n$?
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