Esercizio sul quadrato di una radice di un polinomio in $QQ$

[Angus1956]

Sia $x^5-9x^4-3x^2+3inQQ[x]$ e sia $beta$ una radice di tale polinomio. Mi dice di mostrare che $QQ(beta)=QQ(beta^2)$ e trovare il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$.
Allora io ho fatto così:
$QQ(beta^2)subeQQ(beta)$ è triviale ($beta^2=(beta)^2inQQ(beta)$).
Poi ho preso $f(x)=9x^2+3x-3$ e $g(x)=x^2$ in $QQ[x]$, intanto osservo che $g(beta^2)!=0$ altrimenti $beta=0$, assurdo dato che $x^5-9x^4-3x^2+3$ è irriducibile in $QQ$ (per Eisenstein), per cui $beta=f(beta^2)/g(beta^2)inQQ(beta^2)$ per cui $QQ(beta)subeQQ(beta^2)$ e quindi $QQ(beta^2)=QQ(beta)$. Poi ho notato che siccome $beta$ è algebrico su $QQ$ allora $QQ(beta)$ è un estensione finita su $QQ$ ma allora anche $QQ(beta^2)$ lo è (in quanto sono uguali) e quindi $beta^2$ è algebrico su $QQ$. Il polinomio minimo di $beta^2$ su $QQ$ è $x^5-81x^4-54x^3+45x^2+18x-9$. Può andar bene?

[Martino]

Sì va bene, a parte il fatto che non ho capito come hai trovato il polinomio minimo di $beta^2$.

Ti suggerisco un esercizio che troverai interessante: se $alpha$ è un elemento il cui polinomio minimo su $QQ$ ha grado dispari allora $QQ(alpha^2)=QQ(alpha)$.

[Angus1956]

"Martino":Sì va bene, a parte il fatto che non ho capito come hai trovato il polinomio minimo di $beta^2$.

Me l'hai insegnato tu .
In pratica ho pensato $f(x)=xg(x^2)+h(x^2)$ con $g(x)=x^2$ e $h(x)=9x^2-3x+3$ e un polinomio che si annulla in $beta^2$ si ottiene come $xg^2(x)-h^2(x)$ ovvero $x^5-81x^4-54x^3+45x^2+18x-9$, che sia irriducibile puoi dedurlo dal fatto che $QQ[beta]=QQ[beta^2]$ questo ti dice che $QQ[beta^2]$ come estensione su $QQ$ ha grado multiplo di $5$ e quindi se $x^5-81x^4-54x^3+45x^2+18x-9$ fosse riducibile non ci sarebbero estensioni di grado multiplo di $5$ poichè sarebbero multiple solo di $2$ e/o $3$.

[Angus1956]

"Martino":
Ti suggerisco un esercizio che troverai interessante: se $alpha$ è un elemento il cui polinomio minimo su $QQ$ ha grado dispari allora $QQ(alpha^2)=QQ(alpha)$.

Vabbe $QQ(alpha^2)subeQQ(alpha)$ si fa come ho detto sopra, per l'altra inclusione ho pensato così:
Sia $f$ il polinomio minimo di $alpha$, lo posso scrivere come $f(x)=xg(x^2)+h(x^2)$ con $deg(g(x^2))

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[Martino]

Ottimo

[Angus1956]

"Martino":Ottimo

Nel caso il polinomio minimo di $alpha$ avesse grado pari invece posso fare la stessa cosa a patto che $g(x)!=0$, mentre se $g(x)=0$ si ha che $f=h(x^2)$ e se prendo ad esempio $x^2+1$ allora $alpha=i notinQQ$ ma $alpha^2=-1inQQ$, credo che in generale in questi casi si abbia sempre $QQ(alpha^2)subQQ(alpha)$